Mga Archive ng Kategorya: Ang Wilmott Magazine

Aking publish (o sa lalong madaling panahon upang ma-publish) piraso ng hanay sa Ang Wilmott Magazine

Modeling the Models

Mathematical finance is built on a couple of assumptions. The most fundamental of them is the one on market efficiency. It states that the market prices every asset fairly, and the prices contain all the information available in the market. Sa ibang salita, you cannot glean any more information by doing any research or technical analysis, or indeed any modeling. If this assumption doesn’t pan out, then the quant edifice we build on top of it will crumble. Some may even say that it did crumble in 2008.

We know that this assumption is not quite right. If it was, there wouldn’t be any transient arbitrage opportunities. But even at a more fundamental level, the assumption has shaky justification. The reason that the market is efficient is that the practitioners take advantage of every little arbitrage opportunity. Sa ibang salita, the markets are efficient because they are not so efficient at some transient level.

Mark Joshi, in his well-respected book, “The Concepts and Practice of Mathematical Finance,” points out that Warren Buffet made a bundle of money by refusing to accept the assumption of market efficiency. Sa katunayan, the weak form of market efficiency comes about because there are thousands of Buffet wannabes who keep their eyes glued to the ticker tapes, waiting for that elusive mispricing to show up.

Given that the quant careers, and literally trillions of dollars, are built on the strength of this assumption, we have to ask this fundamental question. Is it wise to trust this assumption? Are there limits to it?

Let’s take an analogy from physics. I have this glass of water on my desk now. Still water, in the absence of any turbulence, has a flat surface. We all know why – gravity and surface tension and all that. But we also know that the molecules in water are in random motion, in accordance with the same Brownian process that we readily adopted in our quant world. One possible random configuration is that half the molecules move, sabihin, to the left, and the other half to the right (so that the net momentum is zero).

If that happens, the glass on my desk will break and it will make a terrible mess. But we haven’t heard of such spontaneous messes (from someone other than our kids, that is.)

The question then is, can we accept the assumption on the predictability of the surface of water although we know that the underlying motion is irregular and random? (I am trying to make a rather contrived analogy to the assumption on market efficiency despite the transient irregularities.) The answer is a definite yes. Oo naman, we take the flatness of liquid surfaces for granted in everything from the useless lift-pumps and siphons of our grade school physics books all the way to dams and hydro-electric projects.

So what am I quibbling about? Why do I harp on the possibility of uncertain foundations? I have two reasons. One is the question of scale. In our example of surface flatness vs. random motion, we looked at a very large collection, where, through the central limit theorem and statistical mechanics, we expect nothing but regular behavior. If I was studying, halimbawa, how an individual virus propagates through the blood stream, I shouldn’t make any assumptions on the regularity in the behavior of water molecules. This matter of scale applies to quantitative finance as well. Are we operating at the right scale to ignore the shakiness of the market efficiency assumption?

The second reason for mistrusting the pricing models is a far more insidious one. Let me see if I can present it rather dramatically using my example of the tumbler of water. Suppose we make a model for the flatness of the water surface, and the tiny ripples on it as perturbations or something. Then we proceed to use this model to extract tiny amounts of energy from the ripples.

The fact that we are using the model impacts the flatness or the nature of the ripples, affecting the underlying assumptions of the model. Ngayon, imagine that a large number of people are using the same model to extract as much energy as they can from this glass of water. My hunch is that it will create large scale oscillations, perhaps generating configurations that do indeed break the glass and make a mess. Discounting the fact that this hunch has its root more in the financial mess that spontaneously materialized rather than any solid physics argument, we can still see that large fluctuations do indeed seem to increase the energy that can be extracted. Katulad nito, large fluctuations (and the black swans) may indeed be a side effect of modeling.

Group Dynamics

When researchers and academicians move to quantitative finance, they have to grapple with some culture shock. Not only does the field of finance operate at a faster pace, it also puts great emphasis on team work. It cuts wide rather than deep. Quick results that have immediate and widespread impact are better than perfect and elegant solutions that may take time to forge. We want it done quick rather than right. Academicians are just the opposite. They want to take years to mull over deep problems, often single-handedly, and come up with solutions elegant and perfect.

Coupled with this perfectionism, there is a curious tendency among academic researchers toward creating a “wow” factor with their results, as opposed to finance professionals who are quite content with the “wow” factor in their bonuses. This subtle mismatch generates interesting manifestations. Academics who make the mid-career switch to finance tend to work either alone or in small groups, trying to perfect an impressive prototype. Banking professionals, sa kabilang banda, try to leverage on each other (at times taking credit for other people’s work) and roll out potentially incomplete solutions as early as possible. The intellectual need for a “wow” may be a factor holding back at least some quant deliverables.

Pilosopiya ng Salapi

Underlying all financial activity are transactions involving money. The term “transactions” means something philosophically different in economics. It stands for exchanges of goods and services. Pera, in economic transactions, has only a transactional value. It plays the role of a medium facilitating the exchanges. Sa mga financial transactions, gayunman, pera ay nagiging entity na idina-transacted. Sistema ng Financial mahalagang ilipat ang pera mula sa savings at transforms ito sa kapital. Kaya pera tumatagal sa isang halaga ng pamumuhunan, bilang karagdagan sa kanyang intrinsic sa transaksyon sa halaga. Ang halaga ng pamumuhunan ay ang batayan ng interes.

Given na ang halaga ng pamumuhunan ay sinusukat din at ibinalik sa mga tuntunin ng pera, makuha namin ang paniwala ng mga tambalang interes at “paglalagay ng pera upang gumana.” Mga may demand na ang pagbalik ng pera batay sa panganib investment sila ay handa upang ipalagay. At ang papel na ginagampanan ng mga modernong sistema ng pinansiyal na nagiging isa sa pagbabalanse ito panganib-gantimpala equation.

We should keep in mind that this signification of money as investment entity is indeed a philosophical choice that we have made over the past few centuries. Other choices do exist — Islamic banking springs to mind, although its practice has be diluted by the more widely held view of money as possessing an investment value. It is fascinating to study the history and philosophy of money, but it is a topic that calls for a full-length book on its own right. Understanding money at its most fundamental level may in fact enhance our productivity — which is again measured in terms of the bottom line, consistent with the philosophy of money that enjoys currency.

Madulas Slope

Pero, salawikain na ito ng hindi pagbibigay ng bonus sa buong kompanya sa panahon ng masamang beses ay hindi pa gumagana kanan alinman sa, para sa iba't ibang mga kawili-wiling mga dahilan. Una, Tingnan natin ang kaso ng mga AIG EVP ipaalam. AIG ay isang malaking kompanya, sa mga yunit ng negosyo na nagpapatakbo nang nakapag-iisa ng bawat isa, halos tulad ng natatanging mga pampinansyal na mga institusyon. Kung Nagtalo ko na AIG guys dapat makakuha ng mga bonus dahil ang kumpanya na ginawa abysmally, Maaaring isa ituro na ang mga pinansiyal na mga merkado bilang isang buo ginawa di-wastong pati na rin. Nangangahulugan ba ito na walang mga kawani sa anuman sa mga bangko ay dapat magsagawa ng anumang mga bonus kahit na ginawa okay sa kanilang partikular na bangko? At bakit tumigil doon? Ang buong ekonomiya ang nagiging di-wastong na. Kaya, dapat namin kahit na ang lahat ng mga insentibo ng pagganap? Sa sandaling kami magsisimulang pagpunta down na kalsada na, magtapos ka namin sa isang madulas libis patungo sa sosyalismo. At namin ang lahat ng malaman na ang ideya ay hindi mag-pan out sa gayon na rin.

Ang isa pang punto tungkol sa kasalukuyang bonus scheme ay tumutulong ito na conceals sa loob nito sabay pagse-segment na ridiculed ko sa aking mga naunang post. Totoo, ang oras sa pagse-segment ay sa pamamagitan ng taon, sa halip na sa pamamagitan ng buwan. Kung ang isang negosyante o isang executive ang ginagawa nang maayos sa isang taon, reaps niya ang premyo bilang malaking bonus. Kung makikialam up siya sa susunod na taon, sigurado, siya ay hindi makakakuha ng anumang bonus, ngunit siya pa rin ay may kanyang pangunahing suweldo hanggang sa oras na siya ay palayain. Ito ay tulad ng isang libreng opsyon tawag ipinahiwatig sa lahat ng mga high-lumilipad mga trabaho banking.

Ang nasabing mga umiiral libreng mga pagpipilian sa tawag sa lahat ng aming mga oras-segment ng mga tanawin ng buhay. Kung ikaw ay isang mapanlinlang, Bilyunaryo Ponzi-scheme, ang kailangan mo lang gawin ay upang makatakas detection hanggang ka mamatay. Ang Bane ng kapitalismo ay ang pandaraya ay isang kasalanan lang kapag natuklasan, at hanggang pagkatapos ay, masiyahan ka sa isang buhay-mayaman. Paves ang oras ng elemento ng paraan para sa isa pang madulas libis patungo sa panloloko at katiwalian. Muli, ito ay isang bagay tulad ng isang pagpipilian sa tawag na may walang limitasyong nakabaligtad at downside na kahit papaano floor, sa parehong tagal at intensity.

Dapat na mayroong hindi isang masaya punto ng balanse sa pagitan ng dalawang madulas slope — isa patungo sa dysfunctional sosyalismo, at ang iba pang mga patungo makakanibal katiwalian. Mukhang sa akin tulad ng buong sistema sa pananalapi ay precariously tuktok sa isang meta-matatag punto ng balanse sa pagitan ng dalawang. Slipped lang ito sa sa isa sa mga slope noong nakaraang taon, at kami ay sinusubukan ang lahat sa lubid itong muli sa paghapon punto. Sa aking romantikong magarbong, Isipin ko ang isang mas masaya at mas matatag punto ng balanse umiiral tatlumpung o apatnapu't taon na ang nakalipas. Ay ito sa paghadlang pang-ekonomiyang ideals ng malamig na digmaan? O sa mga konsepto ng welfare estado ng Europa, kung saan na pamahalaan matatag na kinokontrol ang namumuno taas ng kanilang ekonomiya? Kung gayon, maaari naming asahan China (o Indya, o Latin America) upang dalhin ang tungkol sa isang mas kinakailangan panimbang?

Mga Seksiyon

Pagbabahagi ng Kita

Kabilang sa lahat ng mga argumento para sa mabigat na bonus, ang pinaka-kapani-paniwala ay ang isa sa mga kita na henerasyon at pagbabahagi. Kita para sa mga customer at mga stakeholder, kung nabuo ng isang partikular na tagapagpaganap, dapat na ibinahagi sa kanya. Ano ang sakit na?

Ang huling argumento para sa bonus insentibo ay namin tumingin sa ay ang isa sa mga tuntunin ng kita (at samakatuwid shareholder value) henerasyon. Mahusay, shareholder ng halaga sa kasalukuyang pinansiyal na kaguluhan ay nagsagawa ng ganoong pagkatalo na walang maliwanag ang isip bangko tagapagpaganap ay ipakita ito bilang isang argument. Ano ang natitira pagkatapos ay isang halip makitid kahulugan ng kita. Narito nakakalito ito ay makakakuha ng. Ang mga kita para sa karamihan ng mga pinansiyal na Instituto ay hindi maarok. Ang pangangatwiran mula sa AIG tagapagpaganap ay na siya at ang kanyang koponan ay may kinalaman sa mga aktibidad sa paggawa ng pagkawala, at dapat nilang matanggap ang ipinangako bonus. Sila distansya ang kanilang mga sarili mula sa debacle at mag-ukit out ang kanilang mga maliliit na mga niche na hindi mag-ambag dito. Ang nasabing pagse-segment, kahit na ito tunog tulad ng isang lohikal na tindig, ay hindi masyadong tama. Upang makita ang kamalian nito, subukan ng isang oras sa pagse-segment ipaalam. Sabihin nating ang isang negosyante ng ginawa lubos na rin para sa ilang buwan sa paggawa ng malaking kita, at messed up sa panahon ng pahinga ng taon na nagtatapos up sa isang pangkalahatang kawalan. Ngayon, ipagpalagay na siya argues, “Mahusay, Ginawa ko na rin para sa Enero, Marso at Agosto. Bigyan mo ako ng aking 300% para sa mga buwan.” Walang sinuman ay pagpunta sa bumili na argumento. Sa tingin ko kung ano ang naaangkop sa oras dapat umaplay sa espasyo (pinagsisisihan, yunit ng negosyo o klase ng asset, Ibig kong sabihin). Kung hindi maganda ang pagpapalabas nang matatag, marahil ang lahat ng mga bonus dapat mawala.

Bilang ay namin makita sa huling post ng mga serye, ito argument para sa at laban sa mabigat insentibo ay isang mapaglalang isa sa ilang mga kagulat-gulat implikasyon.

Mga Seksiyon

Talent ng Pagpapanatili

Kahit pagkatapos naming diskwento pagsusumikap at taglay na katalinuhan bilang batayan ng masaganang kabayaran pakete, kami ay hindi masyadong pa tapos.

Ang susunod na argumento sa pabor ng mabigat na bonus nagtatanghal ng mga insentibo bilang paraan ng napananatili ang nauuna-nabanggit talento. Naghahanap sa kalagayan ng pinansiyal na mga merkado, maaaring understandably pasaring sa pangkalahatang publiko, “Ano talento?” at magtaka kung bakit ang sinuman ay nais na panatilihin ito. Na ipinahiwatig na mga pintas sa kabila, talento pagpapanatili ay isang magandang argument.

Bilang isang kaibigan ng minahan isinalarawan ito sa isang halimbawa, ipagpalagay na mayroon kang isang mahusay na restaurant salamat higit sa lahat sa isang ubod ng chef. Lahat ay pagpunta honky Dory. Pagkatapos ay, sa labas ng asul na, isang tulala magluto ng sa iyo Burns down na ang buong pagtatatag. Ikaw, oo naman, ilagay sa sako puwitan ang tagaluto ng, ngunit marahil nais na panatilihin ang mga chef sa iyong Payroll upang mayroon kang malaking muli sa oras na settles sa alabok ng isang pagkakataon ng paggawa ito. Totoo, wala kang isang restaurant na tumakbo, ngunit hindi mo nais ang iyong mga kakumpitensya upang makakuha ng kanyang mga kamay sa iyong alas chef. Magandang argument. Higit pang conceded aking kaibigan na sa sandaling kinuha mo ng pampublikong pagpopondo, ang equation ay nagbago. Maaaring hindi na nagkaroon ng anumang sabihin sa paglipas ng payables, dahil ang pera ay hindi sa iyo.

Sa tingin ko pati na rin ang mga pagbabago equation para sa isa pang dahilan. Kapag ang lahat ng mga restaurant sa bayan ay halos burn down na, kung saan ay pagpunta sa iyong mahalagang mga chef upang pumunta? Marahil ay hindi ito gumawa ng malaking mga bonus na panatilihin siya ngayon.

Mga Seksiyon

Talento at Intelligence

Sa huling post, Pinagtalunan ko na kung paano mahirap nagtatrabaho kami ay may walang magkano ang gagawin sa kung magkano ang gantimpala namin dapat mag-ani. Pagkatapos ng lahat, may mga taxi driver na nagtatrabaho na at mas mahirap, at kahit na higit pa kapus-palad kaluluwa sa slums ng Indya at iba pang mahihirap na bansa.

Pero, Ako ay threading sa tunay manipis na yelo kapag ihahambing ang, gayunpaman obliquely, senior executive sa cabbies at pook ng mga dukha aso. Ang mga ito ay (ang mga executive, na) malinaw Marami pang mga mahuhusay na, na pinagsasama-ako sa sikat na talento argumento para sa bonus. Ano ang talent na ito bagay? Ito ba ay intelligence at magsalita? Ako sa sandaling natugunan ng taxi driver sa Quezon City na naging matatas sa higit sa isang dosenang mga wika bilang disparate bilang Ingles at Arabic. Natuklasan ko ang kanyang mga nakatagong talento sa pamamagitan ng aksidente kapag siya ay basag up sa isang bagay na sinabi ng aking ama sa akin — isang pribadong biro sa aming pang-araw-araw na salita, bihira na ako ay napatunayan ang isang di-katutubong nagsasalita pagtatangka. Hindi ko maaaring makatulong sa pag-iisip at pagkatapos ay — ibinigay ng isa pang lugar at ng isa pang oras, ito cabbie maaaring naging isang propesor sa lingguwistika o isang bagay. Talent maaaring maging isang kinakailangang kondisyon para sa tagumpay (at bonus), pero ito ay tiyak na ay hindi isang sapat na isa. Kahit sa mga pook ng mga dukha aso, maaari naming mahanap ang sapat na talento, kung ang Oscar-winning na pelikula ay anumang bagay upang pumunta sa pamamagitan ng. Kahit na, ang kalaban sa pelikula ay gumawa ng kanyang milyong dolyar na bonus, ngunit ito ay gawa-gawa lamang.

Sa tunay na buhay, gayunman, masuwerteng aksidente ng mga pangyayari na maglaro ng isang mas kritikal na papel kaysa sa talento sa paglalagay sa amin sa kanang bahagi sa kita na pagbaha-bahaginin. Akin, mukhang walang isip upang i-claim ang isang karapatan na ang premyo batay sa anumang pang-unawa ng talento o katalinuhan. Ano ba, katalinuhan mismo, Gayunpaman namin ito tukuyin ang, ay wala nang iba kundi isang masaya genetic aksidente.

Mga Seksiyon

Hard Work

Isang argumento para sa malaking mga bonus ay na ang mga executive gumana nang husto para dito at kumita ito tapat. Ito ay totoo na ang ilan sa mga executive gumastos ng napakalaking dami ng oras (hanggang sa 10 upang 14 oras bawat araw, ayon sa AIG tagapagpaganap sa ilalim ng spotlight dito). Pero, huwag mahabang oras at pagsusumikap awtomatikong gagawin sa amin “yaong nararapat ang pinakamahusay na sa buhay,” bilang Tracy Chapman naglalagay ito?

Ako nakilala na taxi driver sa Singapore na sapin ang oras kalye pagkatapos ng bahaw-shift oras bago maaaring masira kahit. Sa malas ang mga rental ang cabbies kailangang magbayad ay masyadong mataas, at tapusin ang mga ito gumagana pantay-pantay na mas mahaba kaysa sa karamihan ng mga executive. Mas malayo na lampas sa aming mga moral na abot-tanaw, pantao pook ng mga dukha aso maghanap ng pagkain basura lungkot para sa mga scrap maaari nilang kumain o magbenta. Bumalik-pagsira paggawa, Isipin ko. Mahabang oras, kakila-kilabot na kondisyon ng pagtatrabaho, at hard-pagsusumikap — ngunit walang bonus.

Mukhang sa akin na waring matapang na trabaho ay may napakakaunting ugnayan sa kung ano ang isa ay may karapatan sa. Mayroon kaming upang tumingin sa ibang lugar upang makahanap ng mga justifications sa kung ano ang itinuturing namin ang aming mga angkop na.

Mga Seksiyon

Bonus Mga Plano ng Mice at Men

Madalas pumunta sa aming pinakamahusay na-inilatag mga plano pilipit. Nakita namin ito sa lahat ng oras sa isang personal na antas — aksidente (parehong mabuti at masama), namamatay (pareho ng mga mahal sa buhay at rich uncles), mga panganganak, at lotto lahat magtulung-tulong sa pagbabago ng ayos ang aming mga priyoridad at i-render ang aming mga plano walang bisa. Sa katunayan, walang anuman tulad ng isang matatag na kasawian upang makakuha ng sa amin upang ilagay ang mga bagay sa pananaw. Pagkakataon na ito ay maaaring maging kilalang-kilala magandang panig kami ay patuloy na ipinapayo upang makita. Ano ang tunay na sa isang personal na antas ng pagpipigil totoo rin sa isang mas malaking proporsyon. Ang malawak na pang-industriya na pinansiyal meltdown ay imparted isang pilosopiko kalinawan sa aming propesyon — isang kaliwanagan na maaaring nakagawa kami masyadong abala upang mapansin, ngunit para sa katakut-takot Straits hindi namin sa ngayon.

Ito pilosopiko kalinawan ng inspirasyon pagsusuri (at mga haligi, oo naman) na minsan sa sarili serving at paminsan-minsan kaluluwa-searching. Ngayon mag-alala namin tungkol sa moral na karangalan sa likod ng masiraan ng ulo bonus na inaasahan ng yesteryears, halimbawa. Ang kaso sa point ay Jake DeSantis, the AIG executive vice president who resigned rather publicly on the New York Times, and donated his relatively modest bonus of a million dollars to charity. The reasons behind the resignation are interesting, and fodder to this series of posts.

Before I go any further, let me state it outright. I am going to try to shred his arguments the best I can. I am sure I would have sung a totally different tune if they had given me a million dollar bonus. Or if anybody had the temerity to suggest that I part with my own bonus, paltry as it may seem in comparison. I will keep that possibility beyond the scope of this column, ignoring the moral inconsistency others might maliciously perceive therein. I will talk only about other people’s bonuses. Pagkatapos ng lahat, we are best in dealing with other people’s money. And it is always easier to risk and sacrifice something that doesn’t belong to us.

Mga Seksiyon

Isang Bagong Uri ng binomyo Tree

We can port even more complicated problems from mathematics directly to a functional language. For an example closer to home, let us consider a binomial pricing model, illustrating that the ease and elegance with which Haskell handles factorial do indeed extend to real-life quantitative finance problems as well.

The binomial tree pricing model works by assuming that the price of an underlying asset can only move up or down by constant factors u at d during a small time interval \delta t. Stringing together many such time intervals, we make up the expiration time of the derivative instrument we are trying to price. The derivative defined as a function of the price of the underlying at any point in time.

Figure 1
Figure 1. Binomial tree pricing model. On the X axis, labeled i, we have the time steps. The Y axis represents the price of the underlying, labeled j. The only difference from the standard binomial tree is that we have let j be both positive and negative, which is mathematically natural, and hence simplifies the notation in a functional language.

We can visualize the binomial tree as shown in Fig. 1. At time t = 0, we have the asset price S(0) = S_0. Sa t = \delta t (with the maturity T = N\delta t). we have two possible asset values S_0 u at S_0 d = S_0 / u, where we have chosen d = 1/u. In general, sa oras na i\delta t, at the asset price node level j, we have

S_{ij} = S_0 u^j

By choosing the sizes of the up and down price movements the same, we have created a recombinant binomial tree, which is why we have only 2i+1 price nodes at any time step i\delta t. In order to price the derivative, we have to assign risk-neutral probabilities to the up and down price movements. The risk-neutral probability for an upward movement of u is denoted by p. Gamit ang mga notations, we can write down the fair value of an American call option (of expiry T, underlying asset price S_0, strike price K, risk free interest rate r, asset price volatility \sigma and number of time steps in the binomial tree N) using the binomial tree pricing model as follows:

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}

where f_{ij} denotes the fair value of the option at any the node i in time and j in price (referring to Fig. 1).

f_{ij} = \left{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1, j+1} + (1-p)  f_{i+1, j-1}\right)) & \textrm {otherwise}\end{array}\right

At maturity, i = N at i\delta t = T, where we exercise the option if it is in the money, which is what the first Max function denotes. The last term in the express above represents the risk neutral backward propagation of the option price from the time layer at (i+1)\delta t upang i\delta t. At each node, if the option price is less than the intrinsic value, we exercise the option, which is the second Max function.

The common choice for the upward price movement depends on the volatility of the underlying asset. u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}} and the downward movement is chosen to be the same d = 1/u to ensure that we have a recombinant tree. For risk neutrality, we have the probability defined as:

p = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

For the purpose of illustrating how it translates to the functional programming language of Haskell, let us put all these equations together once more.

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}
where
&f_{ij}  =& \left\{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1\, j+1} + (1-p)  f_{i+1\, j-1}\right)\quad \quad& \textrm{otherwise}\end{array}\right.
S_{ij}  = S_0 u^j
u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}}
d  = 1/u
\delta t  = T/N
p  = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

Ngayon, let us look at the code in Haskell.

  optionPrice t s0 k r sigma n = f 0 0      where        f i j =            if i == n            then max ((s i j) - upang) 0            else max ((s i j) - upang)                      (exp(-r*dt) * (p * f(i 1)(j 1) +                      (1-p) * f(i 1)(j-1)))        s i j = s0 * u**j        u = exp(palatandaan * sqrt dt)        d = 1 / u        dt = t / n        p = (exp(r*dt)-d) / (u-d)  

Tulad ng maaari naming makita, it is a near-verbatim rendition of the mathematical statements, walang higit pa. This code snippet actually runs as it is, and produces the result.

  *Main> optionPrice 1 100 110 0.05 0.3 20  10.10369526959085  

Looking at the remarkable similarity between the mathematical equations and the code in Haskell, we can understand why mathematicians love the idea of functional programming. This particular implementation of the binomial pricing model may not be the most computationally efficient, but it certainly is one of great elegance and brevity.

While a functional programming language may not be appropriate for a full-fledged implementation of a trading platform, many of its underlying principles, such as type abstractions and strict purity, may prove invaluable in programs we use in quantitative finance where heavy mathematics and number crunching are involved. The mathematical rigor enables us to employ complex functional manipulations at the program level. The religious adherence to the notion of statelessness in functional programming has another great benefit. It helps in parallel and grid enabling the computations with almost no extra work.

Mga Seksiyon