زمرہ آرکائیو: Wilmott میگزین

میرا شائع (یا جلد ہی شائع کیا جائے) Wilmott میگزین میں کالم ٹکڑے ٹکڑے

Modeling the Models

Mathematical finance is built on a couple of assumptions. The most fundamental of them is the one on market efficiency. It states that the market prices every asset fairly, and the prices contain all the information available in the market. دوسرے الفاظ میں, you cannot glean any more information by doing any research or technical analysis, or indeed any modeling. If this assumption doesn’t pan out, then the quant edifice we build on top of it will crumble. Some may even say that it did crumble in 2008.

We know that this assumption is not quite right. If it was, there wouldn’t be any transient arbitrage opportunities. But even at a more fundamental level, the assumption has shaky justification. The reason that the market is efficient is that the practitioners take advantage of every little arbitrage opportunity. دوسرے الفاظ میں, the markets are efficient because they are not so efficient at some transient level.

Mark Joshi, in his well-respected book, “The Concepts and Practice of Mathematical Finance,” points out that Warren Buffet made a bundle of money by refusing to accept the assumption of market efficiency. اصل میں, the weak form of market efficiency comes about because there are thousands of Buffet wannabes who keep their eyes glued to the ticker tapes, waiting for that elusive mispricing to show up.

Given that the quant careers, and literally trillions of dollars, are built on the strength of this assumption, we have to ask this fundamental question. Is it wise to trust this assumption? Are there limits to it?

Let’s take an analogy from physics. I have this glass of water on my desk now. Still water, in the absence of any turbulence, has a flat surface. We all know why – gravity and surface tension and all that. But we also know that the molecules in water are in random motion, in accordance with the same Brownian process that we readily adopted in our quant world. One possible random configuration is that half the molecules move, کا کہنا ہے کہ, to the left, and the other half to the right (so that the net momentum is zero).

If that happens, the glass on my desk will break and it will make a terrible mess. But we haven’t heard of such spontaneous messes (from someone other than our kids, that is.)

The question then is, can we accept the assumption on the predictability of the surface of water although we know that the underlying motion is irregular and random? (I am trying to make a rather contrived analogy to the assumption on market efficiency despite the transient irregularities.) The answer is a definite yes. کورس, we take the flatness of liquid surfaces for granted in everything from the useless lift-pumps and siphons of our grade school physics books all the way to dams and hydro-electric projects.

So what am I quibbling about? Why do I harp on the possibility of uncertain foundations? I have two reasons. One is the question of scale. In our example of surface flatness vs. random motion, we looked at a very large collection, جہاں, through the central limit theorem and statistical mechanics, we expect nothing but regular behavior. If I was studying, مثال کے طور پر, how an individual virus propagates through the blood stream, I shouldn’t make any assumptions on the regularity in the behavior of water molecules. This matter of scale applies to quantitative finance as well. Are we operating at the right scale to ignore the shakiness of the market efficiency assumption?

The second reason for mistrusting the pricing models is a far more insidious one. Let me see if I can present it rather dramatically using my example of the tumbler of water. Suppose we make a model for the flatness of the water surface, and the tiny ripples on it as perturbations or something. Then we proceed to use this model to extract tiny amounts of energy from the ripples.

The fact that we are using the model impacts the flatness or the nature of the ripples, affecting the underlying assumptions of the model. اب, imagine that a large number of people are using the same model to extract as much energy as they can from this glass of water. My hunch is that it will create large scale oscillations, perhaps generating configurations that do indeed break the glass and make a mess. Discounting the fact that this hunch has its root more in the financial mess that spontaneously materialized rather than any solid physics argument, we can still see that large fluctuations do indeed seem to increase the energy that can be extracted. اسی طرح, large fluctuations (and the black swans) may indeed be a side effect of modeling.

Group Dynamics

When researchers and academicians move to quantitative finance, they have to grapple with some culture shock. Not only does the field of finance operate at a faster pace, it also puts great emphasis on team work. It cuts wide rather than deep. Quick results that have immediate and widespread impact are better than perfect and elegant solutions that may take time to forge. We want it done quick rather than right. Academicians are just the opposite. They want to take years to mull over deep problems, often single-handedly, and come up with solutions elegant and perfect.

Coupled with this perfectionism, there is a curious tendency among academic researchers toward creating a “wow” factor with their results, as opposed to finance professionals who are quite content with the “wow” factor in their bonuses. This subtle mismatch generates interesting manifestations. Academics who make the mid-career switch to finance tend to work either alone or in small groups, trying to perfect an impressive prototype. Banking professionals, دوسرے ہاتھ پر, try to leverage on each other (at times taking credit for other people’s work) and roll out potentially incomplete solutions as early as possible. The intellectual need for a “wow” may be a factor holding back at least some quant deliverables.

منی کا فلسفہ

Underlying all financial activity are transactions involving money. The term “transactions” means something philosophically different in economics. It stands for exchanges of goods and services. منی, in economic transactions, has only a transactional value. It plays the role of a medium facilitating the exchanges. مالی لین دین میں, تاہم, پیسے لین دین کی جا رہی ہے کہ ہستی بن جاتا ہے. مالی سسٹمز بنیادی طور پر بچت سے پیسہ منتقل اور دارالحکومت میں تبدیل. یوں پیسہ ایک سرمایہ کاری قیمت پر لیتا ہے, اس کے اندرونی ٹرانزیکشنل قیمت کے علاوہ میں. یہ سرمایہ کاری کی قدر سود کی بنیاد ہے.

سرمایہ کاری کی قیمت بھی ماپا جاتا ہے کہ دیا ہے اور پیسے کے معاملے میں واپس, ہم کمپاؤنڈ سود کے تصور کو حاصل کرنے اور “کام کرنے کے لئے پیسہ لگانے.” وہ فرض کرنے کے لئے تیار رہے ہیں سرمایہ کاری خطرے کی بنیاد پر رقم کا مطالبہ واپسی وہ لوگ جو. اور جدید مالیاتی نظام کے کردار کو اس خطرے اجر مساوات توازن سے ایک بن جاتا ہے.

We should keep in mind that this signification of money as investment entity is indeed a philosophical choice that we have made over the past few centuries. Other choices do exist — Islamic banking springs to mind, although its practice has be diluted by the more widely held view of money as possessing an investment value. It is fascinating to study the history and philosophy of money, but it is a topic that calls for a full-length book on its own right. Understanding money at its most fundamental level may in fact enhance our productivity — which is again measured in terms of the bottom line, consistent with the philosophy of money that enjoys currency.

پھسل ڑلانوں

لیکن, this dictum of denying bonus to the whole firm during bad times doesn’t work quite right either, for a variety of interesting reasons. سب سے پہلے, let’s look at the case of the AIG EVP. AIG is a big firm, with business units that operate independently of each other, almost like distinct financial institutions. If I argued that AIG guys should get no bonus because the firm performed abysmally, one could point out that the financial markets as a whole did badly as well. Does it mean that no staff in any of the banks should make any bonus even if their particular bank did okay? And why stop there? The whole economy is doing badly. تو, should we even out all performance incentives? Once we start going down that road, we end up on a slippery slope toward socialism. And we all know that that idea didn’t pan out so well.

Another point about the current bonus scheme is that it already conceals in it the same time segmentation that I ridiculed in my earlier post. یہ سچ ہے, the time segmentation is by the year, rather than by the month. If a trader or an executive does well in one year, he reaps the rewards as huge bonus. If he messes up the next year, اس بات کا یقین, he doesn’t get any bonus, but he still has his basic salary till the time he is let go. It is like a free call option implied in all high-flying banking jobs.

Such free call options exist in all our time-segmented views of life. If you are a fraudulent, Ponzi-scheme billionaire, all you have to do is to escape detection till you die. The bane of capitalism is that fraud is a sin only when discovered, and until then, you enjoy a rich life. This time element paves the way for another slippery slope towards fraud and corruption. ایک بار پھر, it is something like a call option with unlimited upside and a downside that is somehow floored, both in duration and intensity.

There must be a happy equilibrium between these two slippery slopes — one toward dysfunctional socialism, and the other toward cannibalistic corruption. It looks to me like the whole financial system was precariously perched on a meta-stable equilibrium between these two. It just slipped on to one of the slopes last year, and we are all trying to rope it back on to the perching point. In my romantic fancy, I imagine a happier and more stable equilibrium existed thirty or forty years ago. Was it in the opposing economic ideals of the cold war? Or was it in the welfare state concepts of Europe, where governments firmly controlled the commanding heights of their economies? اگر ایسا ہے تو, can we expect China (or India, or Latin America) to bring about a much needed counterweight?

طبقوں

منافع اشتراک

Among all the arguments for hefty bonuses, the most convincing is the one on profit generation and sharing. Profit for the customers and stakeholders, if generated by a particular executive, should be shared with him. What is wrong with that?

The last argument for bonus incentives we will look at is this one in terms of profit (and therefore shareholder value) generation. ٹھیک ہے, shareholder value in the current financial turmoil has taken such a beating that no sane bank executive would present it as an argument. What is left then is a rather narrow definition of profit. Here it gets tricky. The profits for most financial institutes were abysmal. The argument from the AIG executive is that he and his team had nothing to do with the loss making activities, and they should receive the promised bonus. They distance themselves from the debacle and carve out their tiny niche that didn’t contribute to it. Such segmentation, although it sounds like a logical stance, is not quite right. To see its fallacy, let’s try a time segmentation. Let’s say a trader did extremely well for a few months making huge profits, and messed up during the rest of the year ending up with an overall loss. اب, suppose he argues, “ٹھیک ہے, I did well for January, March and August. Give me my 300% for those months.” Nobody is going to buy that argument. I think what applies to time should also apply to space (افسوس, business units or asset classes, میرا مطلب). If the firm performs poorly, perhaps all bonuses should disappear.

As we will see in the last post of the series, this argument for and against hefty incentives is a tricky one with some surprising implications.

طبقوں

ٹیلنٹ برقراری

Even after we discount hard work and inherent intelligence as the basis of generous compensation packages, we are not quite done yet.

The next argument in favour of hefty bonuses presents incentives as a means of retaining the afore-mentioned talent. Looking at the state of affairs of the financial markets, the general public may understandably quip, “What talent?” and wonder why anybody would want to retain it. That implied criticism notwithstanding, talent retention is a good argument.

As a friend of mine illustrated it with an example, suppose you have a great restaurant thanks mainly to a superlative chef. Everything is going honky dory. اس کے بعد, نیلے رنگ سے باہر, an idiot cook of yours burns down the whole establishment. آپ, کورس, sack the cook’s rear end, but would perhaps like to retain the chef on your payroll so that you have a chance of making it big again once the dust settles. یہ سچ ہے, you don’t have a restaurant to run, but you don’t want your competitor to get his hands on your ace chef. Good argument. My friend further conceded that once you took public funding, the equation changed. You probably no longer had any say over payables, because the money was not yours.

I think the equation changes for another reason as well. When all the restaurants in town are pretty much burned down, where is your precious chef going to go? Perhaps it doesn’t take huge bonuses to retain him now.

طبقوں

ٹیلنٹ اور انٹیلی جنس

In the last post, میں نے کتنا مشکل ہم کام ہم فصل کاٹیں چاہئے کتنا اجر کے ساتھ کیا کرنا کچھ بھی نہیں ہے کہ دلیل دی. سب کے بعد, طویل اور مشکل کام کرنے والے ٹیکسی ڈرائیوروں سے ہیں, اور یہاں تک کہ بھارت کی گندی بستیوں اور دیگر غریب ممالک میں زیادہ بدقسمتی کی روحیں.

لیکن, مجھے لگتا ہے میں موازنہ جب حقیقی پتلی برف پر تھریڈنگ ہوں, تاہم obliquely کو, cabbies کی اور کچی کتوں کے سینئر ایگزیکٹوز. They are (ایگزیکٹوز, ہے) واضح طور پر ایک بہت زیادہ باصلاحیت, جس کے بونس کے لئے مشہور ٹیلنٹ دلیل پر مجھے پڑتا ہے. اس ہنر چیز کیا ہے? یہ انٹیلی جنس اور خاتون ہے? میں نے ایک بار انگریزی اور عربی کے طور پر مختلف طور پر ایک درجن سے زائد زبانوں میں روانی تھا جو بنگلور میں ایک ٹیکسی ڈرائیور سے ملاقات. وہ کچھ میرے والد نے مجھ سے کہا میں پھٹے جب میں حادثے کی طرف سے ان کے چھپے ہوئے پرتیبھا دریافت — ہماری مقامی زبان میں ایک نجی مذاق, جو میں نے شاید ہی کبھی ایک غیر مقامی اسپیکر کی کوشش پایا ہے. میں تو سوچ میں مدد نہیں کر سکتا تھا — ایک اور جگہ اور ایک اور وقت دیا, اس Cabbie کی لسانیات یا کچھ اور میں ایک پروفیسر ہوتی. ٹیلنٹ کی کامیابی کے لئے ایک لازمی شرط ہو سکتی ہے (اور بونس), لیکن یہ یقینی طور پر ایک کافی ایک نہیں ہے. یہاں تک کہ کچی آبادی میں کتوں کے درمیان, ہم کافی پرتیبھا تلاش کر سکتے ہیں, آسکر ایوارڈ یافتہ فلم کی طرف سے جانے کے لئے کچھ بھی ہے. Although, فلم میں فلم کا مرکزی کردار ان ملین ڈالر بونس پڑتا ہے, لیکن یہ صرف فکشن تھا.

حقیقی زندگی میں, تاہم, حالات کی خوش قسمت حادثات آمدنی کی تقسیم کے دائیں طرف پر ہمارے ساتھ ڈال میں ٹیلنٹ مقابلے میں ایک زیادہ اہم کردار ادا. میرے لئے, یہ پرتیبھا یا انٹیلی جنس کے کسی بھی خیال کی بنیاد پر انعامات کا حق دعوی کرنے کے لئے پاگل لگتا ہے. کیا heck, انٹیلی جنس خود, تاہم ہم اس کی وضاحت, لیکن ایک خوش جینیاتی حادثے کچھ بھی نہیں ہے.

طبقوں

مشکل کام

One argument for big bonuses is that the executives work hard for it and earn it fair and square. It is true that some of these executives spend enormous amount of time (up to 10 کرنے کے لئے 14 hours a day, according the AIG executive under the spotlight here). لیکن, do long hours and hard work automatically make us “those who deserve the best in life,” as Tracy Chapman puts it?

I have met taxi drivers in Singapore who ply the streets hour after owl-shift hour before they can break even. Apparently the rentals the cabbies have to pay are quite high, and they end up working consistently longer than most executives. Farther beyond our moral horizon, human slum dogs forage garbage dumps for scraps they can eat or sell. Back-breaking labour, I imagine. Long hours, terrible working conditions, and hard-hard work — but no bonus.

It looks to me as though hard work has very little correlation with what one is entitled to. We have to look elsewhere to find justifications to what we consider our due.

طبقوں

چوہوں اور مردوں کے بونس کے منصوبے

Our best-laid plans often go awry. We see it all the time at a personal level — accidents (both good and bad), deaths (both of loved ones and rich uncles), births, and lotteries all conspire to reshuffle our priorities and render our plans null and void. اصل میں, there is nothing like a solid misfortune to get us to put things in perspective. This opportunity may be the proverbial silver lining we are constantly advised to see. What is true at a personal level holds true also at a larger scale. The industry-wide financial meltdown has imparted a philosophical clarity to our profession — a clarity that we might have been too busy to notice, but for the dire straits we are in right now.

This philosophical clarity inspires analyses (and columns, کورس) that are at times self-serving and at times soul-searching. We now worry about the moral rectitude behind the insane bonus expectations of yesteryears, مثال کے طور پر. The case in point is Jake DeSantis, the AIG executive vice president who resigned rather publicly on the New York Times, and donated his relatively modest bonus of a million dollars to charity. The reasons behind the resignation are interesting, and fodder to this series of posts.

Before I go any further, let me state it outright. I am going to try to shred his arguments the best I can. I am sure I would have sung a totally different tune if they had given me a million dollar bonus. Or if anybody had the temerity to suggest that I part with my own bonus, paltry as it may seem in comparison. I will keep that possibility beyond the scope of this column, ignoring the moral inconsistency others might maliciously perceive therein. I will talk only about other people’s bonuses. سب کے بعد, we are best in dealing with other people’s money. And it is always easier to risk and sacrifice something that doesn’t belong to us.

طبقوں

دو رقمی درخت کی ایک نئی قسم

ہم کر سکتے ہیں براہ راست ایک فعال زبان کو ریاضی سے بندرگاہ بھی زیادہ پیچیدہ مسائل. گھر کے قریب ایک مثال کے طور پر, ہمیں ایک دو رقمی قیمتوں کا تعین ماڈل پر غور, Haskell کی ضربیہ سنبالتی ہے جس کے ساتھ آسانی اور خوبصورتی یقینا اس کے ساتھ ساتھ حقیقی زندگی کے مقداری خزانہ مسائل کے لئے توسیع کرتے کہ عکاسی.

دو رقمی درخت قیمتوں کا تعین ماڈل ایک بنیادی اثاثہ کی قیمت صرف مسلسل عوامل سے نیچے تک منتقل یا کر سکتے ہیں کہ سنبھالنے طرف سے کام کرتا u اور d ایک چھوٹا سا وقت وقفہ کے دوران \delta t. بہت سے ایسے وقت وقفے ایک ساتھ تھریڈنگ, ہم قیمت کے لئے کوشش کر رہے ہیں مشتق آلہ کے ختم ہونے کا وقت قضاء. وقت میں کسی بھی موڑ پر انڈرلائنگ کی قیمت کی ایک تقریب کے طور پر بیان کیا مشتق.

Figure 1
اعداد و شمار 1. دو رقمی درخت قیمتوں کا تعین ماڈل. X محور پر, لیبل لگا مجھے, ہم وقت اقدامات پڑے. Y محور انڈرلائنگ کی قیمت کی نمائندگی کرتا ہے, لیبل لگا J. معیاری دو رقمی درخت سے فرق صرف ہم دو کیا ہے J مثبت اور منفی دونوں ہو, جس میں ریاضی قدرتی ہے, اور اس وجہ سے ایک فعال زبان میں سنکیتن آسان بنا دیتا ہے.

انجیر میں دکھائے گئے کے طور پر ہم دو رقمی درخت دیکھ سکتے ہیں. 1. وقت میں t = 0, ہم نے اثاثہ کی قیمت ہے S(0) = S_0. میں t = \delta t (پختگی کے ساتھ T = N\delta t). ہم دو ممکنہ اثاثہ اقدار ہیں S_0 u اور S_0 d = S_0 / u, ہم نے منتخب کیا ہے جہاں d = 1/u. عام طور پر, وقت i\delta t, اثاثہ قیمت نوڈ سطح پر j, ہمارے پاس ہے

S_{ij} = S_0 u^j

اپ کا سائز منتخب کر کے اور قیمت کی نقل و حرکت کو ایک ہی نیچے, ہم نے ایک نو دو رقمی درخت کو پیدا کیا ہے, جس میں ہم صرف یہی وجہ ہے 2i+1 کسی بھی وقت قدم پر قیمت نوڈس i\delta t. مشتق کی قیمت کے لئے ترتیب میں, ہم اپ کو اور قیمت کی نقل و حرکت نیچے خطرے غیر جانبدار امکانات تفویض ہے. کا ایک اضافہ تحریک کے لئے خطرے غیر جانبدار امکان u کی طرف سے لکھا جاتا ہے p. ان علامتوں کے ساتھ, ہم نے ایک امریکی کال آپشن کی مناسب قیمت لکھ کر سکتے ہیں (ختم ہونے کی T, بنیادی اثاثہ کی قیمت S_0, ہڑتال قیمت K, خطرے مفت سود کی شرح r, اثاثہ قیمت میں اتار چڑھاؤ \sigma اور وقت کی تعداد دو رقمی درخت اقدامات N) مندرجہ ذیل کے طور دو رقمی درخت قیمتوں کا تعین ماڈل کا استعمال کرتے ہوئے:

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}

جہاں f_{ij} کسی بھی نوڈ میں اختیار کی مناسب قیمت پر کرنا i وقت میں اور j قیمت میں (انجیر کا حوالہ. 1).

f_{ij} = \left{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1, j+1} + (1-p)  f_{i+1, j-1}\right)) & \textrm {otherwise}\end{array}\right

پختگی پر, i = N اور i\delta t = T, ہم اختیار کو بروئے جہاں یہ پیسے میں ہے تو, سب سے پہلے زیادہ سے زیادہ تقریب پر کرنا کیا ہے جس میں. مندرجہ بالا ایکسپریس میں گزشتہ مدت کے وقت پرت سے اختیار کی قیمت کے خطرے غیر جانبدار پسماندہ تبلیغ پر کی نمائندگی کرتا ہے (i+1)\delta t کرنے کے لئے i\delta t. ہر نوڈ میں, اختیار کی قیمت اندرونی قیمت سے کم ہے تو, ہم اختیار ورزش, جو دوسری میکس تقریب ہے.

اضافہ کی قیمت کی تحریک کے لئے عام انتخاب بنیادی اثاثہ کے اتار چڑھاؤ پر انحصار کرتا ہے. u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}} اور نیچے کی تحریک ایک ہی ہو جائے کرنے کے لئے منتخب کیا جاتا ہے d = 1/u ہم نے ایک نو درخت ہے کہ یقینی بنانے کے لئے. خطرے کی غیر جانبداری کے لئے, ہم امکان کے طور پر بیان کیا ہے:

p = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

اس Haskell کی کی فعال پروگرامنگ زبان میں ترجمہ کس طرح عکاسی کے مقصد کے لئے, ہمیں ایک بار سے زیادہ ایک دوسرے کے ساتھ ان تمام مساوات ڈال دو.

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}
جہاں
&f_{ij}  =& \left\{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1\, j+1} + (1-p)  f_{i+1\, j-1}\right)\quad \quad& \textrm{otherwise}\end{array}\right.
S_{ij}  = S_0 u^j
u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}}
d  = 1/u
\delta t  = T/N
p  = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

اب, ہم سے Haskell کی میں کوڈ کو دیکھو.

  optionPrice ٹی S0 K ر سگما ن = چ 0 0      where        f i j =            if i == n            then max ((ے مجھے جموں) - کرنے کے لئے) 0            باقی زیادہ سے زیادہ ((ے مجھے جموں) - کرنے کے لئے)                      (EXP(-R * ڈیٹی) * (پی * چ(میں نے 1  )(J   1) +                      (1-پی) * چ(میں نے 1  )(J-1)))        ے مجھے جموں = S0 * u**j        u = exp(سگما * SQRT ڈیٹی)        D = 1 / u        dt = t / n        p = (EXP(R * ڈیٹی)-D) / (انڈر د)  

ہم دیکھ سکتے ہیں کے طور پر, یہ ریاضی کے بیانات میں سے ایک قریب لفظ بہ لفظ ترجمہ ہے, کچھ نہیں. یہ ہے کے طور پر اس کوڈ کا ٹکڑا اصل میں چلتا ہے, اور اس کا نتیجہ پیدا کرتی ہے.

  *مرکزی & gt؛ پر optionPrice 1 100 110 0.05 0.3 20  10.10369526959085  

ریاضی مساوات اور Haskell میں کوڈ کے درمیان قابل ذکر مماثلت کی طرف دیکھ, گنیتشتھوں فعال پروگرامنگ کے خیال سے محبت کیوں ہم سمجھ سکتے ہیں. دو رقمی قیمتوں کا تعین ماڈل کے اس مخصوص عمل درآمد کے سب سے زیادہ computationally موثر نہیں ہو سکتا, لیکن یہ یقینی عظیم خوبصورتی اور اختصار سے ایک ہے.

ایک فعال پروگرامنگ زبان ایک ٹریڈنگ پلیٹ فارم کی ایک مکمل نفاذ کے لئے مناسب نہیں ہوسکتا ہے جبکہ, اس کی بنیادی اصولوں میں سے بہت سے, اس طرح کی قسم کی رکاوٹ اور سخت پاکیزگی کے طور پر, پروگراموں میں انمول ثابت ہو سکتا ہے کہ ہم پر بھاری ریاضی اور نمبر ملوث ہیں crunching کے جہاں مقداری خزانہ میں استعمال کرتے ہیں. ریاضی کے نٹھرتا پروگرام کی سطح پر کمپلیکس فعال پھیری ملازم کرنے کے قابل بناتا ہے. فنکشنل پروگرامنگ میں بے وطنیت کے تصور کو مذہبی لگاؤ ​​ایک اور بڑا فائدہ ہے. اس کے متوازی اور تقریبا کوئی اضافی کام کے ساتھ سنگننا کو چالو کرنے کے گرڈ میں مدد ملتی ہے.

طبقوں