# ஆவணக்காப்பகம்: Wilmott இதழ்,

என் வெளியிடப்பட்ட (அல்லது விரைவில் வெளியிடப்படும்) Wilmott இதழில் நிரல் துண்டுகள்

# Modeling the Models

Mathematical finance is built on a couple of assumptions. The most fundamental of them is the one on market efficiency. It states that the market prices every asset fairly, and the prices contain all the information available in the market. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், you cannot glean any more information by doing any research or technical analysis, or indeed any modeling. If this assumption doesn’t pan out, then the quant edifice we build on top of it will crumble. Some may even say that it did crumble in 2008.

We know that this assumption is not quite right. If it was, there wouldn’t be any transient arbitrage opportunities. But even at a more fundamental level, the assumption has shaky justification. The reason that the market is efficient is that the practitioners take advantage of every little arbitrage opportunity. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், the markets are efficient because they are not so efficient at some transient level.

Mark Joshi, in his well-respected book, “The Concepts and Practice of Mathematical Finance,” points out that Warren Buffet made a bundle of money by refusing to accept the assumption of market efficiency. உண்மையில், the weak form of market efficiency comes about because there are thousands of Buffet wannabes who keep their eyes glued to the ticker tapes, waiting for that elusive mispricing to show up.

Given that the quant careers, and literally trillions of dollars, are built on the strength of this assumption, we have to ask this fundamental question. Is it wise to trust this assumption? Are there limits to it?

Let’s take an analogy from physics. I have this glass of water on my desk now. Still water, in the absence of any turbulence, has a flat surface. We all know why – gravity and surface tension and all that. But we also know that the molecules in water are in random motion, in accordance with the same Brownian process that we readily adopted in our quant world. One possible random configuration is that half the molecules move, சொல்ல, to the left, and the other half to the right (so that the net momentum is zero).

If that happens, the glass on my desk will break and it will make a terrible mess. But we haven’t heard of such spontaneous messes (from someone other than our kids, that is.)

கேள்வி பின்னர் ஆகிறது, can we accept the assumption on the predictability of the surface of water although we know that the underlying motion is irregular and random? (I am trying to make a rather contrived analogy to the assumption on market efficiency despite the transient irregularities.) The answer is a definite yes. நிச்சயமாக, we take the flatness of liquid surfaces for granted in everything from the useless lift-pumps and siphons of our grade school physics books all the way to dams and hydro-electric projects.

So what am I quibbling about? Why do I harp on the possibility of uncertain foundations? I have two reasons. One is the question of scale. In our example of surface flatness vs. random motion, we looked at a very large collection, அங்கு, through the central limit theorem and statistical mechanics, we expect nothing but regular behavior. If I was studying, உதாரணமாக, how an individual virus propagates through the blood stream, I shouldn’t make any assumptions on the regularity in the behavior of water molecules. This matter of scale applies to quantitative finance as well. Are we operating at the right scale to ignore the shakiness of the market efficiency assumption?

The second reason for mistrusting the pricing models is a far more insidious one. Let me see if I can present it rather dramatically using my example of the tumbler of water. Suppose we make a model for the flatness of the water surface, and the tiny ripples on it as perturbations or something. Then we proceed to use this model to extract tiny amounts of energy from the ripples.

The fact that we are using the model impacts the flatness or the nature of the ripples, affecting the underlying assumptions of the model. இப்பொழுது, imagine that a large number of people are using the same model to extract as much energy as they can from this glass of water. My hunch is that it will create large scale oscillations, perhaps generating configurations that do indeed break the glass and make a mess. Discounting the fact that this hunch has its root more in the financial mess that spontaneously materialized rather than any solid physics argument, we can still see that large fluctuations do indeed seem to increase the energy that can be extracted. இதேபோல், large fluctuations (and the black swans) may indeed be a side effect of modeling.

# குழு டைனமிக்ஸ்

ஆராய்ச்சியாளர்கள் மற்றும் கல்வியாளர்கள் அளவு நிதி செல்ல போது,,en,அவர்கள் சில கலாச்சாரம் அதிர்ச்சி கொண்ட பற்று வேண்டும்,,en,ஒரு வேகமான வேகத்தில் மட்டுமே நிதியியல் துறையிலான இயக்கப்படுவதில்லை,,en,இது அணி வேலை பெரிய முக்கியத்துவம் வைக்கிறது,,en,அது ஆழத்தைக் காட்டிலும் மாறாக பரந்த வெட்டி,,en,விரைவாக இது பரவியது தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் என்று விரைவு முடிவுகளை போலியாக்குவது நேரம் ஆகலாம் என்பதை சரியான மற்றும் நேர்த்தியான தீர்வுகளை விட சிறப்பாக இருக்கலாம்,,en,நாம் அது சரியான விட விரைவான தாங்கள் விரும்புவதைச்,,en,அகாடெமிசியன்ஸ் வெறும் எதிரானவை,,en,அவர்கள் மீது ஆழமான பிரச்சினைகள் குழப்பம் வருடங்கள் எடுக்கும் வேண்டும்,,en,பெரும்பாலும் ஒற்றை ஆளாக,,en,தீர்வுகளும் நேர்த்தியான மற்றும் சரியான கொண்டு வர,,en,இந்த பரிபூரணத்துவத்தோடு இணைந்து,,en,இதை உருவாக்குவதன் நோக்கி கல்வி ஆராய்ச்சியாளர்கள் மத்தியில் ஒரு ஆர்வம் போக்கு உள்ளது,,en,வாவ்,,en,தங்கள் முடிவுகளை காரணி,,en,மன நிறைவடைந்துள்ளதற்கான யார் தொழில் நிதி எதிராக,,en,மிகை ஊதியம் காரண,,en, they have to grapple with some culture shock. Not only does the field of finance operate at a faster pace, it also puts great emphasis on team work. It cuts wide rather than deep. Quick results that have immediate and widespread impact are better than perfect and elegant solutions that may take time to forge. We want it done quick rather than right. Academicians are just the opposite. They want to take years to mull over deep problems, often single-handedly, and come up with solutions elegant and perfect.

Coupled with this perfectionism, there is a curious tendency among academic researchers toward creating a “wow” factor with their results, as opposed to finance professionals who are quite content with the “wow” factor in their bonuses. இந்த நுட்பமான பொருந்தவில்லை சுவாரஸ்யமான வெளிப்பாடுகள் உருவாக்குகிறது,,en,நடுப்பகுதியில் வாழ்க்கை நிதி மாற செய்ய யார் கல்வியாளர்கள் அவை தனியாகவோ அல்லது சிறிய குழுக்களாக வேலை செய்யும் தன்மை உடையதாக,,en,ஒரு ஈர்க்கக்கூடிய முன்மாதிரி பக்குவப்படுத்திக் கொள்வதற்காக முயற்சி,,en,வங்கி தொழில்,,en,ஒருவருக்கொருவர் அந்நிய முயற்சி,,en,நேரங்களிலும் மற்றவர்களின் வேலை கடன் எடுத்துக்கொள்ள,,en,லேயே முடிந்தவரை சாத்தியமுள்ள முழுமையற்ற தீர்வுகளை வெளியே ரோல்,,en,ஒரு அறிவார்ந்த தேவை,,en,குறைந்தது சில quant அளிப்புகள் மீண்டும் வைத்திருக்கும் ஒரு காரணியாக இருக்கலாம்,,en. Academics who make the mid-career switch to finance tend to work either alone or in small groups, trying to perfect an impressive prototype. Banking professionals, மறுபுறம், try to leverage on each other (at times taking credit for other people’s work) and roll out potentially incomplete solutions as early as possible. The intellectual need for a “wow” may be a factor holding back at least some quant deliverables.

# பணம் தத்துவம்

அனைத்து நிதி செயல்பாடு அடித்தளத்தில் பணம் சம்பந்தப்பட்ட பரிவர்த்தனைகள். கால “பரிவர்த்தனைகள்” பொருளாதாரம் தத்துவம் வேறு ஏதாவது அர்த்தம். இது பொருட்கள் மற்றும் சேவைகள் பரிமாற்றங்கள் குறிக்கிறது. பணம், பொருளாதார நடவடிக்கைகளில், ஒரே ஒரு தொழில்முறை மதிப்பு உள்ளது. இது பரிமாற்றங்கள் வசதியை ஒரு ஊடகத்தின் பங்கு வகிக்கிறது. நிதி பரிவர்த்தனைகளில், எனினும், பணத்தை பரிமாற்றம் செய்யப்படுகிறது என்று நிறுவனம் ஆகிறது. நிதி அமைப்புகள் அடிப்படையில் சேமிப்பு பணம் நகர்த்த மற்றும் தலைநகர் அது உருமாறும். இவ்வாறு பணம் ஒரு முதலீடு மதிப்பு எடுக்கிறது, அதன் உள்ளார்ந்த நடவடிக்கை மதிப்பு கூடுதலாக. இந்த முதலீடு மதிப்பு வட்டி அடிப்படையில் ஆகிறது.

முதலீட்டு மதிப்பு மேலும் அளவிடப்படுகிறது என்று கொடுக்கப்பட்ட மற்றும் பணத்தின் அடிப்படையில் திரும்பினார், நாங்கள் கூட்டு வட்டி கருத்தை பெற “வேலை பணம் வைத்து.” அவர்கள் கருதி தயாராக உள்ளன முதலீட்டு அபாயத்தை அடிப்படையில் பணம் தேவை வருமானத்தை உடையவர்கள். நவீன நிதிய முறை பங்கு இந்த ஆபத்து வெகுமதி சமன்பாடு சமநிலைப்படுத்தும் ஒரு ஆகிறது.

நாங்கள் முதலீடு நிறுவனம் இந்த பணத்தை கொள் நாம் கடந்த சில நூற்றாண்டுகளாக செய்து ஒரு தத்துவ தேர்வு உண்மையில் உள்ளது என்பதை நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும். மற்ற தேர்வுகள் உள்ளன — இஸ்லாமிய வங்கி மனதில் தோன்றும், அதன் நடைமுறையில் ஒரு முதலீட்டு மதிப்பு வைத்திருந்த பணத்தை மேலும் பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மூலம் வலுவிழக்க எனினும். இது வரலாறு மற்றும் பணம் தத்துவம் படிக்க கண்கவர் ஆகிறது, ஆனால் அது அதன் சொந்த சரியான ஒரு முழு நீள புத்தகம் வேண்டும் என்று ஒரு தலைப்பு. அதன் மிக அடிப்படை மட்டத்தில் பணத்தை புரிந்து உண்மையில் நமது உற்பத்தி அதிகரிக்க கூடும் — மீண்டும் கீழே வரி அடிப்படையில் அளவிடப்படுகிறது இது, நாணய பெறுகிறது என்று பணம் தத்துவம் இசைவானதாக.

# வழுக்கும் சரிவுகளில்

### ஆனாலும், this dictum of denying bonus to the whole firm during bad times doesn’t work quite right either, for a variety of interesting reasons. முதல், let’s look at the case of the AIG EVP. AIG is a big firm, with business units that operate independently of each other, almost like distinct financial institutions. If I argued that AIG guys should get no bonus because the firm performed abysmally, one could point out that the financial markets as a whole did badly as well. Does it mean that no staff in any of the banks should make any bonus even if their particular bank did okay? And why stop there? The whole economy is doing badly. அப்படி, should we even out all performance incentives? Once we start going down that road, we end up on a slippery slope toward socialism. And we all know that that idea didn’t pan out so well.

Another point about the current bonus scheme is that it already conceals in it the same time segmentation that I ridiculed in my earlier post. உண்மை, the time segmentation is by the year, rather than by the month. If a trader or an executive does well in one year, he reaps the rewards as huge bonus. If he messes up the next year, உறுதி, he doesn’t get any bonus, but he still has his basic salary till the time he is let go. It is like a free call option implied in all high-flying banking jobs.

Such free call options exist in all our time-segmented views of life. If you are a fraudulent, Ponzi-scheme billionaire, all you have to do is to escape detection till you die. The bane of capitalism is that fraud is a sin only when discovered, and until then, you enjoy a rich life. This time element paves the way for another slippery slope towards fraud and corruption. மீண்டும், it is something like a call option with unlimited upside and a downside that is somehow floored, both in duration and intensity.

There must be a happy equilibrium between these two slippery slopes — one toward dysfunctional socialism, and the other toward cannibalistic corruption. It looks to me like the whole financial system was precariously perched on a meta-stable equilibrium between these two. It just slipped on to one of the slopes last year, and we are all trying to rope it back on to the perching point. In my romantic fancy, I imagine a happier and more stable equilibrium existed thirty or forty years ago. Was it in the opposing economic ideals of the cold war? Or was it in the welfare state concepts of Europe, where governments firmly controlled the commanding heights of their economies? என்றால், can we expect China (or India, or Latin America) to bring about a much needed counterweight?

# இலாப பகிர்வு

### Among all the arguments for hefty bonuses, the most convincing is the one on profit generation and sharing. Profit for the customers and stakeholders, if generated by a particular executive, should be shared with him. What is wrong with that?

The last argument for bonus incentives we will look at is this one in terms of profit (and therefore shareholder value) generation. சரி, shareholder value in the current financial turmoil has taken such a beating that no sane bank executive would present it as an argument. What is left then is a rather narrow definition of profit. Here it gets tricky. The profits for most financial institutes were abysmal. The argument from the AIG executive is that he and his team had nothing to do with the loss making activities, and they should receive the promised bonus. They distance themselves from the debacle and carve out their tiny niche that didn’t contribute to it. Such segmentation, although it sounds like a logical stance, is not quite right. To see its fallacy, let’s try a time segmentation. Let’s say a trader did extremely well for a few months making huge profits, and messed up during the rest of the year ending up with an overall loss. இப்பொழுது, suppose he argues, “சரி, I did well for January, March and August. Give me my 300% for those months.” Nobody is going to buy that argument. I think what applies to time should also apply to space (மன்னிக்கவும், business units or asset classes, நான் சொல்கிறேன்). If the firm performs poorly, perhaps all bonuses should disappear.

As we will see in the last post of the series, this argument for and against hefty incentives is a tricky one with some surprising implications.

# திறமை வைத்தல்

### Even after we discount hard work and inherent intelligence as the basis of generous compensation packages, we are not quite done yet.

The next argument in favour of hefty bonuses presents incentives as a means of retaining the afore-mentioned talent. Looking at the state of affairs of the financial markets, the general public may understandably quip, “What talent?” and wonder why anybody would want to retain it. That implied criticism notwithstanding, talent retention is a good argument.

As a friend of mine illustrated it with an example, suppose you have a great restaurant thanks mainly to a superlative chef. Everything is going honky dory. பின்னர், out of the blue, an idiot cook of yours burns down the whole establishment. நீங்கள், நிச்சயமாக, sack the cook’s rear end, but would perhaps like to retain the chef on your payroll so that you have a chance of making it big again once the dust settles. உண்மை, you don’t have a restaurant to run, but you don’t want your competitor to get his hands on your ace chef. Good argument. My friend further conceded that once you took public funding, the equation changed. You probably no longer had any say over payables, because the money was not yours.

I think the equation changes for another reason as well. When all the restaurants in town are pretty much burned down, where is your precious chef going to go? Perhaps it doesn’t take huge bonuses to retain him now.

# திறமை மற்றும் புலனாய்வு

### கடந்த இடுகையில், நான் எவ்வளவு கடினமாக நாம் வேலை, நாம் அறுவடை வேண்டும் எவ்வளவு வெகுமதி செய்ய எவ்வளவு எதுவும் இல்லை என்று வாதிட்டார். அனைத்து பிறகு, நீண்ட மற்றும் கடினமாக வேலை டாக்சி டிரைவர்கள் உள்ளன, இந்திய குடிசைகளும் ஏனைய நாடுகளில் உள்ள ஏழை மற்றும் இன்னும் துரதிருஷ்டவசமான ஆன்மா.

ஆனாலும், நான் ஒப்பிடும் போது உண்மையான மெல்லிய பனி நந்தியாவட்டை, எனினும் மறைமுகமாக, cabbies மற்றும் சேரி நாய்கள் மூத்த நிர்வாகிகள். அவர்கள் (நிர்வாகிகள், என்று) தெளிவாக நிறைய திறமையான, இது, போனஸ் புகழ்பெற்ற திறமை வாதம் என்னை கொண்டு. இந்த திறமை விஷயம் என்ன இருக்கிறது? உளவுத்துறை மற்றும் ஒலிப்பு ஆகும்? நான் ஒருமுறை ஆங்கிலம் மற்றும் அரபு போன்ற நெருக்கடியான என ஒரு டஜனுக்கும் மேற்பட்ட மொழிகளில் சரளமாக யார் பெங்களூரில் உள்ள ஒரு டாக்சி டிரைவர் சந்தித்து. அவர் என் அப்பா என்னிடம் கூறினார் ஏதோ வரை கிராக் போது நான் விபத்தில் அவரது மறைத்து திறமை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது — நம் நாட்டு உள்ள ஒரு தனியார் நகைச்சுவை, இது நான் எப்போதாவது ஒரு அல்லாத சொந்த பேச்சாளர் முயற்சியில் கிடைத்தது. நான் நினைத்து உதவ முடியவில்லை — மற்றொரு இடத்தில் மற்றொரு நேரத்தில், இந்த டிரைவர், மொழியியல் அல்லது ஏதாவது ஒரு பேராசிரியராக இருந்து. திறமை வெற்றிக்கு ஒரு தேவையான நிபந்தனை இருக்கலாம் (மற்றும் போனஸ்), ஆனால் அது நிச்சயமாக போதுமான ஒன்று அல்ல. கூட சேரி நாய்கள் மத்தியில், நாங்கள் போதிய திறமை கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஆஸ்கார் வென்ற படம் மூலம் செல்ல ஏதாவது இருந்தால். என்றாலும், படத்தில் கதாநாயகன் தனது மில்லியன் டாலர் போனஸ் செய்கிறது, ஆனால் அது மட்டுமே அறிவியல்.

உண்மையான வாழ்க்கையில், எனினும், சூழ்நிலை அதிர்ஷ்டம் விபத்துக்கள் வருமான பிரித்து வலது பக்கத்தில் நம்மை வைத்து திறமை விட முக்கியமான பங்கை. எனக்கு, இது திறமை அல்லது புலனாய்வு எந்த கருத்து அடிப்படையில் வெகுமதிகளை உரிமை கோர வேடிக்கையான தெரிகிறது. ஹெக், உளவுத்துறை தன்னை, எனினும் நாம் வரையறுக்க, ஒரு மகிழ்ச்சியான மரபணு விபத்து வேறில்லை.

# கடின உழைப்பு

### பெரிய போனஸ் ஒரு வாதம் நிர்வாகிகள் அது கடினமாக உழைக்க அது நியாயமான மற்றும் சதுர சம்பாதிக்க என்று. இந்த சில நிர்வாகிகள், நேரம் பெரும் அளவு செலவிட என்று உண்மை (வரை 10 செய்ய 14 மணி ஒரு நாள், இங்கே கவனத்தை கீழ் AIG நிர்வாகி படி). ஆனாலும், நீண்ட நேரம் மற்றும் கடின உழைப்பு தானாகவே நமக்கு செய்கின்றன “வாழ்க்கையில் சிறந்த தகுதி உள்ளவர்கள்,” ட்ரேசி சாப்மேன் அது வைக்கிறது என?

அவர்கள் கூட உடைக்க முடியும் முன் ஆந்தையைப் மாற்றம் மணி நேரத்திற்கு பிறகு தெருக்களில் மணி நேரம் பேருந்துகளை நம்பி நான் சிங்கப்பூரில் டாக்சி டிரைவர்கள் சந்தித்த. வெளிப்படையாக cabbies செலுத்த வேண்டும் வாடகை மிக அதிகமாக இருக்கும் என்று, அவர்கள் நீண்ட மிகவும் நிர்வாகிகள் மேலாக தொடர்ச்சியாக வேலை முடிவடையும். தூரம் நமது தார்மீக எல்லை தாண்டி, மனித சேரி நாய்கள் தீவனம் குப்பை, அவர்கள் சாப்பிட அல்லது விற்க முடியும் கர்த்தாவே டம்ப். மீண்டும் பிரியாத தொழிலாளர், நான் கற்பனை. நீண்ட நேரம், கொடூரமான பணி நிலைமைகளை, கடின கடின உழைப்பு — ஆனால் எந்த போனஸ்.

இது கடின உழைப்பு ஒரு உரிமை என்ன மிகவும் சிறிய தொடர்பு உள்ளது போல் எனக்கு தெரிகிறது. நாங்கள் எங்கள் காரணமாக கருத்தில் என்ன நியாயப்படுத்தல்களை கண்டுபிடிக்க வேறு இருக்க வேண்டும்.

# சுட்டி மற்றும் மென் போனஸ் திட்டங்கள்

Our best-laid plans often go awry. We see it all the time at a personal level — accidents (both good and bad), deaths (both of loved ones and rich uncles), births, and lotteries all conspire to reshuffle our priorities and render our plans null and void. உண்மையில், there is nothing like a solid misfortune to get us to put things in perspective. This opportunity may be the proverbial silver lining we are constantly advised to see. What is true at a personal level holds true also at a larger scale. The industry-wide financial meltdown has imparted a philosophical clarity to our profession — a clarity that we might have been too busy to notice, but for the dire straits we are in right now.

This philosophical clarity inspires analyses (and columns, நிச்சயமாக) that are at times self-serving and at times soul-searching. We now worry about the moral rectitude behind the insane bonus expectations of yesteryears, உதாரணமாக. The case in point is Jake DeSantis, the AIG executive vice president who resigned rather publicly on the New York Times, and donated his relatively modest bonus of a million dollars to charity. The reasons behind the resignation are interesting, and fodder to this series of posts.

Before I go any further, let me state it outright. I am going to try to shred his arguments the best I can. I am sure I would have sung a totally different tune if they had given me a million dollar bonus. Or if anybody had the temerity to suggest that I part with my own bonus, paltry as it may seem in comparison. I will keep that possibility beyond the scope of this column, ignoring the moral inconsistency others might maliciously perceive therein. I will talk only about other people’s bonuses. அனைத்து பிறகு, we are best in dealing with other people’s money. And it is always easier to risk and sacrifice something that doesn’t belong to us.

# ஈருறுப்பு மரம் புது விதமான

We can port even more complicated problems from mathematics directly to a functional language. For an example closer to home, let us consider a binomial pricing model, illustrating that the ease and elegance with which Haskell handles factorial do indeed extend to real-life quantitative finance problems as well.

The binomial tree pricing model works by assuming that the price of an underlying asset can only move up or down by constant factors $u$ மற்றும் $d$ during a small time interval $\delta t$. Stringing together many such time intervals, we make up the expiration time of the derivative instrument we are trying to price. The derivative defined as a function of the price of the underlying at any point in time.

 படம் 1. Binomial tree pricing model. On the X axis, labeled i, we have the time steps. The Y axis represents the price of the underlying, labeled j. The only difference from the standard binomial tree is that we have let j be both positive and negative, which is mathematically natural, and hence simplifies the notation in a functional language.

We can visualize the binomial tree as shown in Fig. 1. At time $t = 0$, we have the asset price $S(0) = S_0$. இல் $t = \delta t$ (with the maturity $T = N\delta t$). we have two possible asset values $S_0 u$ மற்றும் $S_0 d = S_0 / u$, where we have chosen $d = 1/u$. In general, நேரத்தில் $i\delta t$, at the asset price node level $j$, we have

$S_{ij} = S_0 u^j$

By choosing the sizes of the up and down price movements the same, we have created a recombinant binomial tree, which is why we have only $2i+1$ price nodes at any time step $i\delta t$. In order to price the derivative, we have to assign risk-neutral probabilities to the up and down price movements. The risk-neutral probability for an upward movement of $u$ is denoted by $p$. இந்த குறிப்பீடுகளுடன், we can write down the fair value of an American call option (of expiry $T$, underlying asset price $S_0$, strike price $K$, risk free interest rate $r$, asset price volatility $\sigma$ and number of time steps in the binomial tree $N$) using the binomial tree pricing model as follows:

$\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}$

அங்கு $f_{ij}$ denotes the fair value of the option at any the node $i$ in time and $j$ in price (referring to Fig. 1).

$f_{ij} = \left{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1, j+1} + (1-p) f_{i+1, j-1}\right)) & \textrm {otherwise}\end{array}\right$

At maturity, $i = N$ மற்றும் $i\delta t = T$, where we exercise the option if it is in the money, which is what the first Max function denotes. The last term in the express above represents the risk neutral backward propagation of the option price from the time layer at $(i+1)\delta t$ செய்ய $i\delta t$. At each node, if the option price is less than the intrinsic value, we exercise the option, which is the second Max function.

The common choice for the upward price movement depends on the volatility of the underlying asset. $u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}}$ and the downward movement is chosen to be the same $d = 1/u$ to ensure that we have a recombinant tree. For risk neutrality, we have the probability defined as:

$p = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}$

For the purpose of illustrating how it translates to the functional programming language of Haskell, let us put all these equations together once more.

$\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}$
அங்கு
$&f_{ij} =& \left\{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1\, j+1} + (1-p) f_{i+1\, j-1}\right)\quad \quad& \textrm{otherwise}\end{array}\right.$
$S_{ij} = S_0 u^j$
$u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}}$
$d = 1/u$
$\delta t = T/N$
$p = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}$

இப்பொழுது, let us look at the code in Haskell.

  optionPrice t s0 k r sigma n = f 0 0      where        f i j =            if i == n            then max ((s i j) - செய்ய) 0            else max ((s i j) - செய்ய)                      (exp(-r*dt) * (p * f(i+1)(j+1) +                      (1-p) * f(i+1)(j-1)))        s i j = s0 * u**j        u = exp(சிக்மா * sqrt dt)        d = 1 / u        dt = t / n        p = (exp(r*dt)-ஈ) / (u-d)

நாம் பார்க்க முடியும் என, it is a near-verbatim rendition of the mathematical statements, எதுவும் இன்னும். This code snippet actually runs as it is, and produces the result.

  *Main> optionPrice 1 100 110 0.05 0.3 20  10.10369526959085

Looking at the remarkable similarity between the mathematical equations and the code in Haskell, we can understand why mathematicians love the idea of functional programming. This particular implementation of the binomial pricing model may not be the most computationally efficient, but it certainly is one of great elegance and brevity.

While a functional programming language may not be appropriate for a full-fledged implementation of a trading platform, many of its underlying principles, such as type abstractions and strict purity, may prove invaluable in programs we use in quantitative finance where heavy mathematics and number crunching are involved. The mathematical rigor enables us to employ complex functional manipulations at the program level. The religious adherence to the notion of statelessness in functional programming has another great benefit. It helps in parallel and grid enabling the computations with almost no extra work.