Tag Archives: Wilmott

My columns published in the Wilmott Magazine – a well-known publication targeted at quantitative finance professionals.

Benford ve Kişisel Vergi

Hiçbir şey belli değil ölüm ve vergiler olduğunu, diyorlar. Ölüm cephesinde, hepimiz tıbbi mucizelerle bazı gedikler yapıyoruz, en azından ertelenmesi olmasa aslında kaçınarak. Ama vergilere gelince, bizim vergi iadeleri yaratıcılık biraz dışında hiçbir savunma var.

Sam Amca ona $ 75k borcum düşünüyor diyelim. Senin dürüst bence, adil rakam $ 50k işareti hakkında. Yani vergi düşülebilir gelirleri sayesinde tarak. Zor iş sayısız saat sonra, fyou aşağı sayısı getirmek, demek, $65için. Bir kant, Eğer bir IRS denetim olasılığını tahmin edebilirsiniz. Ve bir numara koyabilirsiniz (dolar bir beklenti değeri) ondan neden olabilir ağrı ve acı.

Diyelim ki ilgili olması bir vergi denetim riski hesaplamak olduğunu varsayalım 1% ve $ 15k ayarlamak için size kesinti iddiaları yaratıcı almak için riske değer olduğuna karar. Sen vergi beyannamesi göndermek ve otur, bilgide kendini beğenmiş denetlenme senin ihtimali oldukça zayıf olduğunu. Büyük bir sürpriz bekliyor. Sen iyi ve gerçekten rastgeleliğin aldatmasın alacak, ve IRS neredeyse kesinlikle vergi iadesi yakından bakmak isteyeceksiniz.

Vergisi beyannamelerinde hesaplanan yaratıcılık nadiren öder. Beklenen ağrı ve acı hesaplamalar IRS sizi denetlemesi ile frekansla tutarlı asla. Bir denetim olasılığı, aslında, Eğer vergi indirimi şişirmeye çalışırsanız çok daha yüksek. Sen aleyhine yığılmış olasılık bu çarpıklık için Benford suçlayabilir.

Şüphecilik

Benford yazısında çok sezgilere şeyler sundu [1] içinde 1938. O soruyu sordu: Herhangi bir sayısal yılında ilk basamak dağılımı nedir, gerçek hayat verileri? İlk bakışta, cevap çok açık görünüyor. Tüm rakam aynı olasılığı olmalıdır. Neden rastgele veriler herhangi bir hanede bir tercih olacaktır?

figure1
Şekil 1. Mali işlemlerin tutarları ilk basamak oluşma sıklığı. Mor eğri tahmin dağıtım. Not hafif aşırılıkları da 1 ve 5 insanlar gibi vatandaşlarını seçmek eğilimindedir çünkü mor eğrinin üstünde bekleniyor 1/5/10/50/100 milyon. Fazlalıkla 8 Asya'da şanslı bir sayı olarak kabul edilir, çünkü aynı zamanda bekleniyor.

Benford gösterdi bir ilk basamak “doğal olarak meydana gelen” sayı çok daha muhtemeldir 1 yerine başka bir rakam daha. Aslında, Her bir basamak, birinci pozisyonda olan belirli bir olasılığa sahiptir. Basamaklı 1 olasılığının çok yüksek olduğu; basamak 2 hakkında 40% ve böylece, birinci pozisyonda olması olasılığı daha azdır. Basamaklı 9 Her düşük olasılık vardır; Bu ilgilidir 6 birinci pozisyonda olması daha az olasılıkla kez.

Ben ilk iyi bilgilendirilmiş bir meslektaşım bu ilk haneli fenomenin duyduğunda, Garip olduğunu düşündüm. Ben safça tüm basamak için oluşma kabaca aynı frekansı görmek bekleniyor olurdu 1 karşı 9. Yani finansal verileri büyük miktarda toplanan, hakkında 65000 numaraları (Excel izin verecek kadar), ve ilk basamağın baktı. Ben Benford kesinlikle doğru bulundu, Şekilde gösterildiği gibi 1.

İlk hanenin olasılığı üniforması oldukça uzakta, Şekil olarak 1 gösterileri. Dağılımı, aslında, logaritmik. Herhangi bir sayı d olasılığı log tarafından verilir(1 + 1 / d), bu durum Şekil mor eğrisidir 1.

Bu çarpık dağılım ben bakmak oldu verilerin bir anomali değil. Bu herhangi bir kural “doğal olarak meydana gelen” veri. Bu Benford kanunu. Benford doğal olarak meydana gelen verilerin çok sayıda toplanan (dahil nüfus, nehirler alanlar, fiziksel sabitleri, böylece gazete raporları ve numaralar) ve bu ampirik yasa saygı gösterdi.

Simülasyon

Kantitatif geliştiricisi olarak, Ben bana sorunu anlamanıza yardımcı olacaktır desenleri görmek mümkün olabilir umuduyla bir bilgisayar şeyler taklit eğilimindedir. Simülasyonda halledilmesi gereken ilk soru anlamaya ne belirsiz bir miktar olasılık dağılımı gibi “doğal sayılar meydana” olurdu. Ben dağılıma sahip kez, Ben sayılar üretmek ve gerçekleşme sıklığını görmek için ilk basamak bakabilirsiniz.

Bir matematikçi ya da bir kant için, doğal logaritma o daha doğal bir şey yok. Bu yüzden doğal olarak oluşan sayılar için ilk aday dağıtım RV exp gibi bir şey(RV), nerede RV eşit olarak dağıtılan rasgele değişkendir (sıfır ila on arasında). Bu seçimin ardındaki mantık doğal olarak oluşan sayıların basamak sayısı eşit sıfır ve bir üst sınır arasında dağıtılır bir varsayım.

Gerçekten, diğer seçebilirsiniz, doğal olarak ortaya çıkan numaralar besleyicisi dağılımları. Ben ikisini kullanarak diğer aday dağıtımları bir çift düzgün dağılmış çalıştı (sıfır ila on arasında) rasgele değişkenler RV1 ve RV2: RV1 exp(RV2) ve exp(RV1 RV2). Tüm bu dağılımlar doğal sayıları ortaya çıkan iyi tahmin olduğu ortaya çevirmek, Şekil l'de gösterilen gibi 2.

figure2
Şekil 2. Bir simülasyon ilk basamak dağılımı sayıda "doğal olarak oluşan", öngörüsüne göre.

Ben doğruluk esrarengiz bir dereceye kadar Benford yasasını takip üretilen sayıların ilk rakam. Bu neden olur? Bilgisayar simülasyonu hakkında iyi bir şey daha derin kazmak ve ara sonuçları bakabilirsiniz olduğunu. Örneğin, dağıtımı ile ilk simülasyonu: RV exp(RV), Biz soruyu sorabilirsiniz: Belli bir ilk basamağını olsun hangi için RV değerleri nedir? Cevap Şekil 3a gösterilmiştir. Not ilk rakamı vermek RV aralıkları 1 vermek kıyasla çok daha büyük olan 9. Yaklaşık altı kat daha büyük, aslında, beklendiği gibi. Desen simüle doğal sayı olarak nasıl tekerrür dikkat “yuvarlanmak” İlk basamaktan 9 karşı 1 (bir kilometre sayacı açma gibi).

figure3a
Şekil 3a,. Bir de aralıkları eşit dağıtılmış (arasında 0 ve 10) RV exp farklı ilk basamağı neden rasgele değişken RV(RV). Not Bunun ilk basamak 1 kalanından çok daha sık görülür, beklendiği gibi.

Benzer bir eğilim, iki rasgele değişken ile meraklısı simülasyon görülebilir. RV1 exp çeşitli ilk basamağı doğuran ortak dağıtımlarında bölgeler(RV2) Şekil 3b'de gösterilmektedir. Derin mavi büyük swathes dikkat edin (ilk basamağa karşılık gelen 1) ve kırmızı sargıları kendi alanında karşılaştırmak (İlk basamak için 9).

figure3b
Şekil 3b. Iki ortak dağılımında bölgeler eşit dağıtılmış (arasında 0 ve 10) RV1 exp farklı ilk basamağı neden rasgele değişkenler RV1 ve RV2(RV2).

Bu egzersiz bana simülasyon toplamak için umuyordum fikir verir. Birinci pozisyonda küçük basamak üstünlüğü nedeni doğal olarak meydana gelen sayı dağılımı genellikle şevli bir olmasıdır; numaralara bir üst sınırı, genellikle orada, ve üst sınırına yakın olsun, muhtemelen yoğunluğu gittikçe küçülmekte. Eğer ilk rakamı geçmek gibi 9 ve sonra, devrilme 1, aniden aralığı çok daha büyük olur.

Bu açıklama tatmin edici olmakla birlikte, şaşırtıcı bir gerçektir doğal dağıtımlarının olasılığı gittikçe azalır nasıl önemli değil ki. Neredeyse merkezi limit teoremi gibi. Elbette, Bu küçük simülasyon hiçbir titiz kanıtı. Eğer titiz bir kanıtı arıyorsanız, Eğer Hill'in çalışmalarında bulabilirsiniz [3].

Sahtecilik Tespit

Bizim vergi kaçakçılığı sıkıntılar Benford isnat edilebilir olsa da, İlk rakam fenomen başlangıçta Simon Newcomb tarafından makalede anlatılan [2] Matematik American Journal in 1881. Bu Frank Benford tarafından yeniden keşfedilmiş 1938, kime tüm zafer (veya suçlama, çitin bağlı yan kendinizi bulabilirsiniz) gitti. Aslında, Vergi sıkıntılardan arkasındaki gerçek suçlu Theodore Tepesi olmuş olabilir. O 1990'larda bir dizi makale olarak ilgi odağı karanlık yasayı getirdi. Hatta bir istatistiksel kanıt sundu [3] fenomenin.

Bizim kişisel vergi sorunları neden ek olarak, Benford yasası diğer birçok dolandırıcılık ve usulsüzlük kontrolleri önemli bir rol oynayabilir [4]. Örneğin, Bir şirketin muhasebe kayıtları ilk basamak dağılımı yaratıcılık nöbetleri ortaya çıkarabilir. Çalışan geri ödeme talepleri, miktarını denetlemek, maaş rakamları, bakkal fiyatları — Her şey Benford yasasına tabidir. Hatta piyasa manipülasyonları tespit etmek için kullanılabilir hisse senedi fiyatlarının ilk basamağı çünkü, Örneğin, Benford dağılımını takip etmek gerekiyor. Onlar yoksa, Biz ihtiyatlı olmak zorunda.

Manevi

figure4
Şekil 4. Bir simülasyon birinci ve ikinci basamak ortak dağılımı, korelasyon etkilerini gösteren.

Hikayenin ahlaki basittir: Vergi iadeleri yaratıcı alamadım. Yakalanmış olacaktır. Sen daha gerçekçi bir vergi indirimi desen oluşturmak için bu Benford dağıtımı kullanmak düşünebilirsin. Ama bu işi sesler daha zordur. Ben söz değil, ancak, basamak arasında bir korelasyon olup. İkinci basamak varlığının olasılığı 2, Örneğin, ilk basamak ne bağlıdır. Şekil bak 4, Hangi zaman simülasyonlar birinde yer alan bağlantı yapısını göstermektedir.

Ayrıca, IRS sistem çok daha gelişmiş olması muhtemeldir. Örneğin, böyle yapay sinir ağları veya destek vektör makineleri gibi gelişmiş veri madenciliği veya örüntü tanıma sistemlerini kullanarak olabilir. IRS etiketli ettiğini verilerin hatırla (başarısız kandırmaya çalıştı olanların vergisi beyannameleri, ve iyi bir vatandaş olanlar) ve kolayca vergi kaçakçılarını tomurcuklanan yakalamak için sınıflandırıcı programları eğitebilirsiniz. Henüz bu sofistike örüntü tanıma algoritmaları kullanarak değilseniz, güven Bana, onlar olacak, Bu makaleyi gördükten sonra. Bu vergilere gelince, size karşı yığılmış çünkü rastgelelik her zaman aptal olur.

Ama cidden, Benford kanunu biz farkında olmalıyız bir araçtır. Kendimizi sayısal veriler her türlü orijinalliğini şüphe bulmak zaman beklenmedik şekillerde bizim yardımına gelebilir. Hukuka dayalı bir onay uygulanması kolay ve aşmak zor. Bu basit ve oldukça evrenseldir. Bu yüzden, en Benford yenmek için deneyin etmeyelim; Onun yerine ona katılsın.

Referanslar
[1] Benford, F. “Anormal Sayılar Yasası.” Proc. Amer. Phil. Soc. 78, 551-572, 1938.
[2] Newcomb, S. “Doğal Sayılarla Basamak Kullanımı Sıklığı unutmayın.” Amer. J. Matematik. 4, 39-40, 1881.
[3] Tepe, T. P. “Önemli Haneli Hukuk İstatistiksel türetilmesi.” Devlet. Bilim. 10, 354-363, 1996.
[4] Nigrini, M. “Ben Your Number Got.” J. Muhasebe 187, pp. 79-83, Mayıs 1999. http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm.

Photo by LendingMemo

Quant Life in Singapore

Singapore is a tiny city-state. Despite its diminutive size, Singapore has considerable financial muscle. It has been rated the fourth most active foreign exchange trading hub, and a major wealth management center in Asia, with funds amounting to almost half a trillion dollars, according to the Monitory Authority of Singapore. This mighty financial clout has its origins in a particularly pro-business atmosphere, world class (well, better than world class, in fact) infrastructure, and the highly skilled, cosmopolitan workforce–all of which Singapore is rightfully proud of.

Among the highly skilled workforce are scattered a hundred or so typically timid and self-effacing souls with bulging foreheads and dreamy eyes behind thick glasses. They are the Singaporean quants, and this short article is their story.

Quants command enormous respect for their intellectual prowess and mathematical knowledge. With flattering epithets like “rocket scientists” or simply “the brain,” quants silently go about their jobs of validating pricing models, writing C++ programs and developing complicated spreadsheet solutions.

But knowledge is a tricky thing to have in Asia. If you are known for your expertise, it can backfire on you at times. Unless you are careful, others will take advantage of your expertise and dump their responsibilities on you. You may not mind it as long as they respect your expertise. But, they often hog the credit for your work and present their ability to evade work as people management skills. And people managers (who may not actually know much) do get better compensated. This paradox is a fact of quant life in Singapore. The admiration that quants enjoy does not always translate to riches here.

This disparity in compensation may be okay. Quants are not terribly interested in money for one logical reason–in order to make a lot of it, you have to work long hours. And if you work long hours, when do you get to spend the money? What does it profit a man to amass all the wealth in the world if he doesn’t have the time to spend it?

Besides, quants seem to play by a different set of rules. They are typically perfectionist by nature. At least, I am, when it comes to certain aspects of work. I remember once when I was writing my PhD thesis, I started the day at around nine in the morning and worked all the way past midnight with no break. No breakfast, lunch or dinner. I wasn’t doing ground-breaking research on that particular day, just trying to get a set of numbers (branching ratios, as they were called) and their associated errors consistent. Looking back at it now, I can see that one day of starvation was too steep a price to pay for the consistency.

Similar bouts of perfectionism might grip some of us from time to time, forcing us to invest inordinate amounts of work for incremental improvements, and propelling us to higher levels of glory. The frustrating thing from the quants’ perspective is when the glory gets hogged by a middle-level people manager. It does happen, time and again. The quants are then left with little more than their flattering epithets.

I’m not painting all people managers with the same unkindly stroke; not all of them have been seduced by the dark side of the force. But I know some of them who actively hone their ignorance as a weapon. They plead ignorance to pass their work on to other unsuspecting worker bees, including quants.

The best thing a quant can hope for is a fair compensation for his hard work. Money may not be important in and of itself, but what it says about you and your station in the corporate pecking order may be of interest. Empty epithets are cheap, but it when it comes to showing real appreciation, hard cash is what matters, especially in our line of work.

Besides, corporate appreciation breeds confidence and a sense of self-worth. I feel that confidence is lacking among Singaporean quants. Some of them are really among the cleverest people I have met. And I have traveled far and wide and met some very clever people indeed. (Once I was in a CERN elevator with two Nobel laureates, as I will never tire of mentioning.)

This lack of confidence, and not lack of expertise or intelligence, is the root cause behind the dearth of quality work coming out of Singapore. We seem to keep ourselves happy with fairly mundane and routine tasks of implementing models developed by superior intelligences and validating the results.

Why not take a chance and dare to be wrong? I do it all the time. For instance, I think that there is something wrong with a Basel II recipe and I am going to write an article about it. I have published a physics article in a well-respected physics journal implying, among other things, that Einstein himself may have been slightly off the mark! See for yourself at http://TheUnrealUniverse.com.

Asian quants are the ones closest to the Asian market. For structures and products specifically tailored to this market, how come we don’t develop our own pricing models? Why do we wait for the Mertons and Hulls of the world?

In our defense, may be some of the confident ones that do develop pricing models may move out of Asia. The CDO guru David Li is a case in point. But, on the whole, the intellectual contribution to modern quantitative finance looks disproportionately lopsided in favor of the West. This may change in the near future, when the brain banks in India and China open up and smell blood in this niche field of ours.

Another quality that is missing among us Singaporean parishioners is an appreciation of the big picture. Clichés like the “Big Picture” and the “Value Chain” have been overused by the afore-mentioned middle-level people managers on techies (a category of dubious distinction into which we quants also fall, to our constant chagrin) to devastating effect. Such phrases have rained terror on techies and quants and relegated them to demoralizing assignments with challenges far below their intellectual potential.

May be it is a sign of my underestimating the power of the dark side, but I feel that the big picture is something we have to pay attention to. Quants in Singapore seem to do what they are asked to do. They do it well, but they do it without questioning. We should be more aware of the implications of our work. If we recommend Monte Carlo as the pricing model for a certain option, will the risk oversight manager be in a pickle because his VaR report takes too long to run? If we suggest capping methods to renormalize divergent sensitivities of certain products due to discontinuities in their payoff functions, how will we affect the regulatory capital charges? Will our financial institute stay compliant? Quants may not be expected to know all these interconnected issues. But an awareness of such connections may add value (gasp, another managerial phrase!) to our office in the organization.

For all these reasons, we in Singapore end up importing talent. This practice opens up another can of polemic worms. Are they compensated a bit too fairly? Do we get blinded by their impressive labels, while losing sight of their real level of talent? How does the generous compensation scheme for the foreign talents affect the local talents?

But these issues may be transitory. The Indians and Chinese are waking up, not just in terms of their economies, but also by unleashing their tremendous talent pool in an increasingly globalizing labor market. They (or should I say we?) will force a rethinking of what we mean when we say talent. The trickle of talent we see now is only the tip of the iceberg. Here is an illustration of what is in store, from a BBC report citing the Royal Society of Chemistry.

China Test
National test set by Chinese education authorities for pre-entry students As shown in the figure, in square prism ABCD-A_1B_1C_1D_1,AB=AD=2, DC=2\sqrt(3), A1=\sqrt(3), AD\perp DC, AC\perp BD, and foot of perpendicular is E,

  1. Prove: BD\perp A_1C
  2. Determine the angle between the two planes A_1BD and BC_1D
  3. Determine the angle formed by lines AD and BC_1 which are in different planes.
UK Test
Diagnostic test set by an English university for first year students In diagram (not drawn to scale), angle ABC is a right angle, AB = 3m BC = 4m

  1. What is the length AC?
  2. What is the area of triangle ABC (above)?
  3. What is the tan of the angle ABC (above) as a fraction?

The end result of such demanding pre-selection criteria is beginning to show in the quality of the research papers coming out of the selected ones, both in China and India. This talent show is not limited to fundamental research; applied fields, including our niche of quantitative finance, are also getting a fair dose of this oriental medicine.

Singapore will only benefit from this regional infusion of talent. Our young nation has an equally young (professionally, that is) quant team. We will have to improve our skills and knowledge. And we will need to be more vocal and assertive before the world notices us and acknowledges us. We will get there. After all, we are from Singapore–an Asian tiger used to beating the odds.

Photo by hslo