Tag Archives: wilmott

My columns published in the Wilmott Magazine – a well-known publication targeted at quantitative finance professionals.

Benford dan Cukai anda

Tiada apa-apa yang pasti tetapi kematian dan cukai, mereka berkata. Di kematian, kita membuat beberapa kemajuan dengan semua keajaiban perubatan, sekurang-kurangnya dalam menangguhkan jika tidak benar-benar mengelakkan ia. Tetapi apabila ia datang kepada cukai, kita tidak mempunyai pertahanan yang lain daripada sedikit kreativiti dalam borang cukai kami.

Katakan Uncle Sam difikirkan anda berhutang dia $ 75k. Pada pendapat jujur ​​anda, angka adil adalah mengenai tanda $ 50k. Jadi anda menyikat melalui resit cukai boleh ditolak anda. Selepas berjam-jam kerja keras, fyou membawa nombor ini untuk, mengatakan, $65kepada. Sebagai galah yang, anda boleh menganggarkan kebarangkalian audit IRS. Dan anda boleh meletakkan nombor yang (nilai jangkaan dalam dolar) untuk kesakitan dan penderitaan yang boleh menyebabkan daripadanya.

Mari kita andaikan bahawa anda mengira risiko audit cukai kira-kira 1% dan membuat keputusan bahawa ia bernilai risiko untuk mendapatkan kreatif dalam tuntutan potongan anda untuk lagu $ 15k. Anda menghantar kembali cukai dan duduk ketat, sombong dalam pengetahuan bahawa kemungkinan anda mendapat diaudit agak langsing. Anda berada dalam untuk kejutan besar. Anda akan mendapat dengan baik dan benar-benar tertipu oleh rawak, IRS dan hampir pasti akan mahu mengambil melihat lebih dekat pada pengembalian cukai anda.

Kreativiti dikira dalam borang cukai jarang berbaloi. Pengiraan anda sakit dijangka dan penderitaan tidak pernah konsisten dengan kekerapan yang IRS audit anda. Kebarangkalian audit adalah, sebenarnya, lebih tinggi jika anda cuba untuk mengembung potongan cukai anda. Anda boleh menyalahkan Benford untuk condong ini dalam kebarangkalian disusun terhadap memihak kepada anda.

Keraguan

Benford menyampaikan sesuatu yang sangat bertentangan dengan intuisi dalam artikelnya [1] dalam 1938. Beliau ditanya soalan: Apakah taburan digit pertama dalam mana-mana nombor, data sebenar? Pada pandangan pertama, jawapannya seolah-olah jelas. Semua angka harus mempunyai kebarangkalian yang sama. Mengapa ada akan menjadi keutamaan kepada mana-mana satu angka dalam data rawak?

figure1
Rajah 1. Kekerapan berlakunya digit pertama dalam jumlah nosional transaksi kewangan. Keluk ungu adalah pengagihan yang diramalkan. Perhatikan bahawa berlebihan sedikit di 1 dan 5 di atas lengkung ungu dijangka kerana orang cenderung untuk memilih seperti warga 1/5/10/50/100 juta. Lebihan di 8 juga dijangka kerana ia dianggap sebagai nombor bertuah di Asia.

Benford menunjukkan angka yang pertama dalam “yang berlaku secara semula jadi” nombor adalah lebih cenderung untuk menjadi 1 daripada apa-apa angka yang lain. Malah, setiap angka mempunyai kebarangkalian tertentu berada di dalam kedudukan pertama. Angka yang 1 mempunyai kebarangkalian tertinggi; angka yang 2 adalah kira-kira 40% kurang cenderung untuk berada dalam kedudukan yang pertama dan sebagainya. Angka yang 9 mempunyai kebarangkalian yang paling rendah bagi semua; ia adalah mengenai 6 kali kurang berkemungkinan untuk berada dalam kedudukan yang pertama.

Apabila saya mula-mula mendengar tentang perkara ini fenomena pertama angka dari rakan sekerja yang bermaklumat, Saya fikir ia adalah pelik. Saya akan naif dijangka menyaksikan kekerapan secara kasar sama berlaku untuk semua digit dari 1 kepada 9. Jadi saya mengumpul jumlah besar data kewangan, mengenai 65000 nombor (sebanyak Excel akan membenarkan), dan melihat angka pertama. Saya mendapati Benford untuk menjadi benar-benar betul, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.

Kebarangkalian digit pertama adalah cukup jauh dari seragam, seperti Rajah 1 pertunjukan. Pengagihan ini adalah, sebenarnya, logaritma. Kebarangkalian sebarang digit d diberikan oleh log(1 + 1 / d), yang lengkung ungu dalam Rajah 1.

Ini taburan pencongan bukan satu anomali dalam data yang saya telah melihat. Ia adalah peraturan dalam mana-mana “yang berlaku secara semula jadi” data. Ia adalah undang-undang Benford ini. Benford mengumpul sejumlah besar data yang berlaku secara semulajadi (termasuk penduduk, kawasan sungai, pemalar fizikal, nombor daripada laporan akhbar dan sebagainya) dan menunjukkan bahawa undang-undang ini empirikal dihormati.

Simulasi

Sebagai pemaju kuantitatif, Saya cenderung untuk meniru perkara-perkara pada komputer dengan harapan supaya aku dapat melihat corak yang akan membantu saya memahami masalah. Soalan pertama yang perlu diselesaikan dalam simulasi ini adalah untuk memikirkan apa yang taburan kebarangkalian bagi kuantiti yang samar-samar seperti “semulajadi nombor” akan. Apabila saya mempunyai pengedaran, Saya boleh menjana nombor dan melihat digit pertama untuk melihat kekerapan berlakunya.

Untuk ahli matematik atau galah yang, tiada apa yang lebih semula jadi yang logaritma asli. Jadi pengedaran calon pertama bagi nombor wujud secara semula jadi adalah sesuatu seperti RV exp(RV), di mana RV ialah pemboleh ubah rawak teragih seragam (antara sifar dan sepuluh). Rasional di sebalik pilihan ini adalah andaian bahawa bilangan digit dalam nombor wujud secara semula jadi diagihkan secara seragam di antara sifar dan had atas.

Sesungguhnya, anda boleh memilih lain, pengagihan pelamun untuk nombor wujud secara semula jadi. Saya cuba beberapa pengagihan calon lain dengan menggunakan dua teragih seragam (antara sifar dan sepuluh) pembolehubah rawak RV1 dan RV2: RV1 exp(RV2) dan exp(RV1 RV2). Semua pengagihan ini berubah menjadi tekaan baik untuk berlaku secara semulajadi nombor, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.

figure2
Rajah 2. Pengagihan angka pertama dalam simulasi "semulajadi" nombor, berbanding dengan ramalan.

Angka pertama dari nombor yang saya dijana mengikuti undang-undang Benford untuk ijazah luar biasa ketepatan. Mengapa ini berlaku? Satu perkara yang baik mengenai simulasi komputer adalah bahawa anda boleh menggali lebih mendalam dan melihat keputusan pengantara. Sebagai contoh, dalam simulasi pertama kami dengan pengedaran: RV exp(RV), kita boleh bertanya soalan: Apakah nilai-nilai RV yang mana kita akan mendapat angka pertama tertentu? Jawapannya ditunjukkan dalam Rajah 3a. Perhatikan bahawa julat di RV yang memberikan digit pertama 1 adalah lebih besar daripada orang-orang yang memberikan 9. Kira-kira enam kali lebih besar, sebenarnya, seperti yang diharapkan. Perhatikan bagaimana corak berulang sebagai nombor asli simulasi “bergolek” dari angka pertama 9 kepada 1 (sebagai tersandung odometer).

figure3a
Rajah 3a. Julat dalam teragih seragam (antara 0 dan 10) RV pembolehubah rawak yang menyebabkan digit pertama berbeza di RV exp(RV). Perhatikan bahawa angka pertama 1 berlaku lebih kerap daripada yang lain, seperti yang diharapkan.

Trend yang sama dapat dilihat dalam simulasi kami pelamun dengan dua pembolehubah rawak. Kawasan dalam pengagihan bersama mereka yang menimbulkan pelbagai digit pertama di RV1 exp(RV2) ditunjukkan dalam Rajah 3b. Perhatikan swathes besar biru (bersamaan dengan digit pertama 1) dan bandingkan kawasan mereka kepada swathes merah (untuk digit yang pertama 9).

figure3b
Rajah 3b. Kawasan dalam pengagihan bersama dua teragih seragam (antara 0 dan 10) pembolehubah rawak RV1 dan RV2 yang menyebabkan digit pertama berbeza di RV1 exp(RV2).

Latihan ini memberi saya gambaran yang saya berharap untuk memungut daripada simulasi. Sebab bagi jumlah lebih besar daripada angka yang lebih kecil dalam kedudukan yang pertama adalah bahawa pengagihan nombor wujud secara semula jadi biasanya satu yang tirus; biasanya ada had atas kepada nombor, dan seperti yang anda mendapatkan lebih dekat dengan had atas, mungkin ketumpatan menjadi lebih kecil dan lebih kecil. Seperti yang anda lulus digit pertama 9 dan kemudian bergolek ke 1, tiba-tiba rangkaian menjadi lebih besar.

Walaupun penjelasan ini adalah memuaskan, fakta mengejutkan adalah bahawa ia tidak kira berapa kebarangkalian taburan semula jadi dian off. Ia adalah hampir seperti teorem had pusat. Sudah tentu, simulasi kecil ini ada bukti yang ketat. Jika anda sedang mencari bukti yang ketat, anda boleh menemuinya dalam kerja Hill [3].

Pengesanan Penipuan

Walaupun masalah pengelakan cukai kita boleh dikaitkan dengan Benford, fenomena digit yang pertama pada asalnya dinyatakan dalam satu artikel oleh Simon Newcomb [2] dalam American Journal of Matematik dalam 1881. Ia telah dijumpai semula oleh Frank Benford di 1938, kepadanya semua kemuliaan (atau menyalahkan, bergantung kepada sebelah mana pagar yang anda mendapati diri anda) pergi. Malah, punca sebenar di sebalik masalah cukai kita mungkin Theodore Hill. Dia membawa undang-undang yang kabur untuk mendapat perhatian dalam satu siri artikel dalam tahun 1990-an. Dia juga menyampaikan bukti statistik [3] untuk fenomena.

Selain menyebabkan masalah cukai peribadi kita, Undang-undang Benford boleh memainkan peranan penting dalam banyak penipuan dan ketidakteraturan cek lain [4]. Sebagai contoh, pengedaran digit pertama dalam catatan perakaunan syarikat boleh mendedahkan serangan kreativiti. Tuntutan bayaran ganti pekerja, memeriksa jumlah, angka gaji, harga runcit — semuanya tertakluk kepada undang-undang ini Benford. Ia juga boleh digunakan untuk mengesan manipulasi pasaran kerana digit pertama harga saham, misalnya, sepatutnya untuk mengikuti pengedaran Benford yang. Jika mereka tidak, kita perlu berhati-hati.

Moral

figure4
Rajah 4. Pengagihan bersama digit pertama dan kedua dalam simulasi yang, menunjukkan kesan pertalian.

Moral cerita ini adalah mudah: Jangan kreatif dalam borang cukai anda. Anda akan terperangkap. Anda mungkin berfikir bahawa anda boleh menggunakan pengedaran Benford ini untuk menjana corak potongan cukai yang lebih realistik. Tetapi kerja ini lebih sukar daripada ia kedengaran. Walaupun saya tidak menyatakannya, terdapat hubungan antara digit. Kebarangkalian kewujudan kedua angka 2, misalnya, bergantung kepada apa digit pertama adalah. Lihatlah Rajah 4, yang menunjukkan struktur korelasi dalam satu simulasi saya.

Selain, sistem IRS itu mungkin jauh lebih canggih. Sebagai contoh, mereka boleh menggunakan maju perlombongan data atau pengiktirafan corak sistem seperti rangkaian neural atau mesin vektor sokongan. Ingat data yang IRS telah dilabel (pulangan cukai daripada mereka yang tidak berjaya cuba untuk menipu, dan orang-orang warganegara yang baik) dan mereka dengan mudah boleh melatih program pengelas untuk menangkap pengelak cukai tunas. Jika mereka tidak menggunakan canggih algoritma pengiktirafan corak belum, amanah saya, mereka akan, selepas melihat artikel ini. Apabila ia datang kepada cukai, rawak akan sentiasa menipu kamu kerana ia disusun terhadap anda.

Tetapi serius, Undang-undang Benford adalah alat yang kita perlu sedar. Ia mungkin datang untuk membantu kita dalam cara yang tidak dijangka apabila kita mendapati diri kita meragui kesahihan semua jenis data numerik. Semakan berdasarkan undang-undang adalah mudah untuk melaksanakan dan sukar untuk memintas. Ia adalah mudah dan agak universal. Jadi, jangan cuba untuk mengalahkan Benford; mari kita menyertainya bukan.

Rujukan
[1] Benford, F. “Undang-undang Nombor ganjil.” Proc. Amer. Phil. Soc. 78, 551-572, 1938.
[2] Newcomb, S. “Nota kepada Kekerapan Penggunaan Digit dalam Bilangan Asli.” Amer. J. Matematik. 4, 39-40, 1881.
[3] Hill, T. P. “A Penerbitan Statistik Undang-undang yang ketara-Digit.” Negeri. Sci. 10, 354-363, 1996.
[4] Nigrini, M. “Akhirnya Saya Dapat Nombor Anda.” J. Perakaunan 187, pp. 79-83, Mei 1999. http://www.aicpa.org/pubs/jofa/may1999/nigrini.htm.

Photo by LendingMemo

Quant Life in Singapore

Singapore is a tiny city-state. Despite its diminutive size, Singapore has considerable financial muscle. It has been rated the fourth most active foreign exchange trading hub, and a major wealth management center in Asia, with funds amounting to almost half a trillion dollars, according to the Monitory Authority of Singapore. This mighty financial clout has its origins in a particularly pro-business atmosphere, world class (well, better than world class, in fact) infrastructure, and the highly skilled, cosmopolitan workforce–all of which Singapore is rightfully proud of.

Among the highly skilled workforce are scattered a hundred or so typically timid and self-effacing souls with bulging foreheads and dreamy eyes behind thick glasses. They are the Singaporean quants, and this short article is their story.

Quants command enormous respect for their intellectual prowess and mathematical knowledge. With flattering epithets like “rocket scientists” or simply “the brain,” quants silently go about their jobs of validating pricing models, writing C++ programs and developing complicated spreadsheet solutions.

But knowledge is a tricky thing to have in Asia. If you are known for your expertise, it can backfire on you at times. Unless you are careful, others will take advantage of your expertise and dump their responsibilities on you. You may not mind it as long as they respect your expertise. But, they often hog the credit for your work and present their ability to evade work as people management skills. And people managers (who may not actually know much) do get better compensated. This paradox is a fact of quant life in Singapore. The admiration that quants enjoy does not always translate to riches here.

This disparity in compensation may be okay. Quants are not terribly interested in money for one logical reason–in order to make a lot of it, you have to work long hours. And if you work long hours, when do you get to spend the money? What does it profit a man to amass all the wealth in the world if he doesn’t have the time to spend it?

Besides, quants seem to play by a different set of rules. They are typically perfectionist by nature. At least, I am, when it comes to certain aspects of work. I remember once when I was writing my PhD thesis, I started the day at around nine in the morning and worked all the way past midnight with no break. No breakfast, lunch or dinner. I wasn’t doing ground-breaking research on that particular day, just trying to get a set of numbers (branching ratios, as they were called) and their associated errors consistent. Looking back at it now, I can see that one day of starvation was too steep a price to pay for the consistency.

Similar bouts of perfectionism might grip some of us from time to time, forcing us to invest inordinate amounts of work for incremental improvements, and propelling us to higher levels of glory. The frustrating thing from the quants’ perspective is when the glory gets hogged by a middle-level people manager. It does happen, time and again. The quants are then left with little more than their flattering epithets.

I’m not painting all people managers with the same unkindly stroke; not all of them have been seduced by the dark side of the force. But I know some of them who actively hone their ignorance as a weapon. They plead ignorance to pass their work on to other unsuspecting worker bees, including quants.

The best thing a quant can hope for is a fair compensation for his hard work. Money may not be important in and of itself, but what it says about you and your station in the corporate pecking order may be of interest. Empty epithets are cheap, but it when it comes to showing real appreciation, hard cash is what matters, especially in our line of work.

Besides, corporate appreciation breeds confidence and a sense of self-worth. I feel that confidence is lacking among Singaporean quants. Some of them are really among the cleverest people I have met. And I have traveled far and wide and met some very clever people indeed. (Once I was in a CERN elevator with two Nobel laureates, as I will never tire of mentioning.)

This lack of confidence, and not lack of expertise or intelligence, is the root cause behind the dearth of quality work coming out of Singapore. We seem to keep ourselves happy with fairly mundane and routine tasks of implementing models developed by superior intelligences and validating the results.

Why not take a chance and dare to be wrong? I do it all the time. For instance, I think that there is something wrong with a Basel II recipe and I am going to write an article about it. I have published a physics article in a well-respected physics journal implying, among other things, that Einstein himself may have been slightly off the mark! See for yourself at http://TheUnrealUniverse.com.

Asian quants are the ones closest to the Asian market. For structures and products specifically tailored to this market, how come we don’t develop our own pricing models? Why do we wait for the Mertons and Hulls of the world?

In our defense, may be some of the confident ones that do develop pricing models may move out of Asia. The CDO guru David Li is a case in point. But, on the whole, the intellectual contribution to modern quantitative finance looks disproportionately lopsided in favor of the West. This may change in the near future, when the brain banks in India and China open up and smell blood in this niche field of ours.

Another quality that is missing among us Singaporean parishioners is an appreciation of the big picture. Clichés like the “Big Picture” and the “Value Chain” have been overused by the afore-mentioned middle-level people managers on techies (a category of dubious distinction into which we quants also fall, to our constant chagrin) to devastating effect. Such phrases have rained terror on techies and quants and relegated them to demoralizing assignments with challenges far below their intellectual potential.

May be it is a sign of my underestimating the power of the dark side, but I feel that the big picture is something we have to pay attention to. Quants in Singapore seem to do what they are asked to do. They do it well, but they do it without questioning. We should be more aware of the implications of our work. If we recommend Monte Carlo as the pricing model for a certain option, will the risk oversight manager be in a pickle because his VaR report takes too long to run? If we suggest capping methods to renormalize divergent sensitivities of certain products due to discontinuities in their payoff functions, how will we affect the regulatory capital charges? Will our financial institute stay compliant? Quants may not be expected to know all these interconnected issues. But an awareness of such connections may add value (gasp, another managerial phrase!) to our office in the organization.

For all these reasons, we in Singapore end up importing talent. This practice opens up another can of polemic worms. Are they compensated a bit too fairly? Do we get blinded by their impressive labels, while losing sight of their real level of talent? How does the generous compensation scheme for the foreign talents affect the local talents?

But these issues may be transitory. The Indians and Chinese are waking up, not just in terms of their economies, but also by unleashing their tremendous talent pool in an increasingly globalizing labor market. They (or should I say we?) will force a rethinking of what we mean when we say talent. The trickle of talent we see now is only the tip of the iceberg. Here is an illustration of what is in store, from a BBC report citing the Royal Society of Chemistry.

China Test
National test set by Chinese education authorities for pre-entry students As shown in the figure, in square prism ABCD-A_1B_1C_1D_1,AB=AD=2, DC=2\sqrt(3), A1=\sqrt(3), AD\perp DC, AC\perp BD, and foot of perpendicular is E,

  1. Prove: BD\perp A_1C
  2. Determine the angle between the two planes A_1BD and BC_1D
  3. Determine the angle formed by lines AD and BC_1 which are in different planes.
UK Test
Diagnostic test set by an English university for first year students In diagram (not drawn to scale), angle ABC is a right angle, AB = 3m BC = 4m

  1. What is the length AC?
  2. What is the area of triangle ABC (above)?
  3. What is the tan of the angle ABC (above) as a fraction?

The end result of such demanding pre-selection criteria is beginning to show in the quality of the research papers coming out of the selected ones, both in China and India. This talent show is not limited to fundamental research; applied fields, including our niche of quantitative finance, are also getting a fair dose of this oriental medicine.

Singapore will only benefit from this regional infusion of talent. Our young nation has an equally young (professionally, that is) quant team. We will have to improve our skills and knowledge. And we will need to be more vocal and assertive before the world notices us and acknowledges us. We will get there. After all, we are from Singapore–an Asian tiger used to beating the odds.

Photo by hslo