Kategori Arkib: Majalah Wilmott

Saya diterbitkan (atau tidak lama lagi akan diterbitkan) keping ruangan dalam Majalah Wilmott

Model Model

Kewangan matematik dibina di atas beberapa andaian. Yang paling asas mereka adalah satu pada kecekapan pasaran. Ia menyatakan bahawa harga pasaran setiap aset secara adil, dan harga mengandungi semua maklumat yang ada di pasaran. Dalam erti kata lain, anda tidak boleh memungut apa-apa maklumat lanjut dengan melakukan apa-apa penyelidikan atau analisis teknikal, atau sememangnya mana-mana pemodelan. Jika andaian ini tidak berhasil, maka bangunan itu galah kita membina di atas ia akan runtuh. Ada juga yang boleh mengatakan bahawa ia runtuh dalam 2008.

Kita tahu bahawa andaian ini tidak berapa tepat. Jika ia adalah, tidak akan ada apa-apa peluang arbitraj fana. Tetapi di peringkat yang lebih asas, andaian yang mempunyai justifikasi goyah. Alasan bahawa pasaran adalah cekap adalah bahawa pengamal mengambil kesempatan daripada setiap peluang arbitraj sedikit. Dalam erti kata lain, pasaran adalah berkesan kerana mereka tidak begitu berkesan dalam beberapa tahap fana.

Mark Joshi, dalam bukunya yang dihormati, “Konsep dan Amalan Matematik Kewangan,” menunjukkan bahawa Warren Buffet dibuat seikat wang dengan menolak untuk menerima andaian kecekapan pasaran. Malah, borang yang lemah kecekapan pasaran datang kira-kira kerana terdapat beribu-ribu wannabes Buffet yang menjaga mata mereka terpaku kepada pita ticker, menunggu yang sukar difahami Penentuan harga yang menyimpang muncul.

Memandangkan kerjaya galah, dan literal trilion dolar, dibina di atas kekuatan andaian ini, kita perlu bertanya soalan asas ini. Adakah bijak untuk mempercayai andaian ini? Adakah terdapat had kepadanya?

Mari kita mengambil satu analogi dari fizik. Saya mempunyai segelas air ini di atas meja saya sekarang. Masih air, jika tiada apa-apa pergolakan, mempunyai permukaan yang rata. Kita semua tahu mengapa – graviti dan ketegangan permukaan dan semua yang. Tetapi kita juga tahu bahawa molekul air di dalam gerakan rawak, mengikut proses yang sama Brownian yang kami adaptasikan dalam dunia galah kami. Satu konfigurasi rawak mungkin ialah separuh molekul bergerak, mengatakan, ke kiri, dan separuh lagi ke kanan (supaya momentum bersih adalah sifar).

Jika ini berlaku, kaca di atas meja saya akan putus dan ia akan membuat keadaan kucar-kacir. Tetapi kita tidak pernah mendengar messes spontan seperti (daripada seseorang selain daripada anak-anak kita, yang.)

Soalan tersebut adalah, kita boleh menerima andaian tentang kebolehramalan permukaan air walaupun kita tahu bahawa gerakan yang mendasari adalah tidak teratur dan rawak? (Saya cuba untuk membuat analogi dan bukan dibuat-buat dengan pengambilalihan pada kecekapan pasaran walaupun penyelewengan fana.) Jawapannya adalah ya pasti. Sudah tentu, kita mengambil kebosanan permukaan cecair ringan dalam segala-galanya daripada yang tidak berguna lif-pam dan siphons buku fizik sekolah gred kami sehingga ke empangan dan projek hidro-elektrik.

Jadi apa yang saya kira-kira kebawelan? Mengapa saya berbicara banyak kemungkinan yang tidak pasti asas-asas? Saya mempunyai dua sebab. Satu adalah soal skala. Dalam contoh kami kebosanan permukaan vs. gerakan rawak, kita melihat koleksi yang sangat besar, tempat, melalui teorem had memusat dan mekanik statistik, kita mengharapkan apa-apa tetapi tingkah laku biasa. Jika saya sedang belajar, misalnya, bagaimana virus individu merambat melalui aliran darah, Saya tidak perlu membuat apa-apa andaian pada kekerapan dalam kelakuan molekul air. Ini perkara skala terpakai untuk kewangan kuantitatif dan juga. Adakah kita beroperasi pada skala yang tepat untuk mengabaikan kegoyahan daripada kecekapan andaian pasaran?

Sebab kedua untuk mistrusting model penentuan harga adalah satu yang jauh lebih berbahaya. Biar saya lihat jika saya boleh menggambarkannya agak dramatik menggunakan contoh daripada gelas air. Katakan kita membuat model untuk kebosanan permukaan air, dan riak kecil di atasnya sebagai pengusikan atau sesuatu. Kemudian kami meneruskan untuk menggunakan model ini untuk mendapatkan jumlah yang kecil tenaga daripada riak.

Hakikat bahawa kita menggunakan kesan model kebosanan atau sifat riak, yang memberi kesan kepada andaian asas model yang. Sekarang, bayangkan bahawa sebilangan besar orang yang menggunakan model yang sama untuk mengeluarkan tenaga sebanyak mana yang mereka dapat dari kaca ini air. Firasat saya adalah bahawa ia akan mewujudkan ayunan skala besar, mungkin menjana tatarajah yang memang memecahkan kaca dan membuat kacau-bilau. Tanpa mengambilkira fakta bahawa firasat ini mempunyai akar yang lebih dalam keadaan huru-hara kewangan yang secara spontan menjadi kenyataan dan bukannya mana-mana hujah fizik pepejal, kita masih boleh melihat bahawa turun naik yang besar memang kelihatan untuk meningkatkan tenaga yang boleh diekstrak. Begitu juga, turun naik yang besar (dan angsa hitam) memang boleh menjadi kesan sampingan pemodelan.

Kumpulan Dinamik

Apabila penyelidik dan ahli akademik bergerak dengan kewangan kuantitatif, mereka perlu bergelut dengan beberapa kejutan budaya. Bukan sahaja bidang kewangan beroperasi pada kadar yang lebih cepat, ia juga meletakkan penekanan besar pada kerja berpasukan. Ia memotong luas dan bukannya mendalam. Hasil yang cepat yang mempunyai kesan segera dan meluas adalah lebih baik daripada penyelesaian yang sempurna dan elegan yang boleh mengambil masa untuk menjalin. Kami mahu ia dilakukan cepat dan bukan hak. Ahli akademik hanya yang bertentangan. Mereka mahu mengambil masa untuk memikirkan masalah lebih mendalam, sering sendirian, dan datang dengan penyelesaian yang elegan dan sempurna.

Ditambah pula dengan kesempurnaan ini, terdapat kecenderungan ingin tahu di kalangan penyelidik akademik ke arah mewujudkan “wow” faktor dengan keputusan mereka, berbanding dengan membiayai profesional yang agak berpuas hati dengan “wow” faktor dalam bonus mereka. This subtle mismatch generates interesting manifestations. Academics who make the mid-career switch to finance tend to work either alone or in small groups, trying to perfect an impressive prototype. Banking professionals, sebaliknya, try to leverage on each other (at times taking credit for other people’s work) and roll out potentially incomplete solutions as early as possible. The intellectual need for a “wow” may be a factor holding back at least some quant deliverables.

Falsafah Wang

Di sebalik semua aktiviti kewangan ini adalah urus niaga yang melibatkan wang. Istilah ini “urus niaga” ertinya sesuatu falsafah yang berbeza dalam bidang ekonomi. Ia bermaksud pertukaran barang-barang dan perkhidmatan. Wang, dalam urus niaga ekonomi, hanya mempunyai nilai transaksi. Ia memainkan peranan medium yang memudahkan pertukaran. Dalam urus niaga kewangan, Walau bagaimanapun, wang menjadi entiti yang sedang diurusniagakan. Sistem kewangan pada asasnya memindahkan wang dari simpanan dan berubah menjadi modal. Oleh itu wang mengambil pada nilai pelaburan, sebagai tambahan kepada nilai intrinsik transaksi. Ini nilai pelaburan adalah dasar kepentingan.

Memandangkan nilai pelaburan juga diukur dan kembali dalam bentuk wang, kita akan mendapat idea dan faedah kompaun “meletakkan wang untuk bekerja.” Mereka yang mempunyai permintaan pulangan wang berdasarkan risiko pelaburan mereka bersedia untuk mengambil alih. Dan peranan sistem kewangan moden menjadi salah satu mengimbangkan persamaan risiko-ganjaran ini.

Kita harus ingat bahawa makna ini wang sebagai entiti pelaburan merupakan satu pilihan falsafah yang telah kami lakukan sepanjang abad-abad kebelakangan ini. Pilihan lain memang wujud — Perbankan Islam tumbuh di fikiran, walaupun amalannya telah dicairkan oleh pandangan yang lebih meluas diadakan wang sebagaimana yang mempunyai nilai pelaburan. Ia adalah menarik untuk mengkaji sejarah dan falsafah wang, tetapi ia adalah satu topik yang memerlukan sebuah buku yang panjang di sebelah kanan sendiri. Memahami wang pada tahap yang paling asas yang boleh sebenarnya meningkatkan produktiviti — yang sekali lagi diukur dari segi garis bawah, selaras dengan falsafah wang yang menikmati mata wang.

Cerun Slippery

Tetapi, this dictum of denying bonus to the whole firm during bad times doesn’t work quite right either, for a variety of interesting reasons. Pertama, let’s look at the case of the AIG EVP. AIG is a big firm, with business units that operate independently of each other, almost like distinct financial institutions. If I argued that AIG guys should get no bonus because the firm performed abysmally, one could point out that the financial markets as a whole did badly as well. Does it mean that no staff in any of the banks should make any bonus even if their particular bank did okay? And why stop there? The whole economy is doing badly. Jadi, should we even out all performance incentives? Once we start going down that road, we end up on a slippery slope toward socialism. And we all know that that idea didn’t pan out so well.

Another point about the current bonus scheme is that it already conceals in it the same time segmentation that I ridiculed in my earlier post. Benar, the time segmentation is by the year, rather than by the month. If a trader or an executive does well in one year, he reaps the rewards as huge bonus. If he messes up the next year, memastikan, he doesn’t get any bonus, but he still has his basic salary till the time he is let go. It is like a free call option implied in all high-flying banking jobs.

Such free call options exist in all our time-segmented views of life. If you are a fraudulent, Ponzi-scheme billionaire, all you have to do is to escape detection till you die. The bane of capitalism is that fraud is a sin only when discovered, and until then, you enjoy a rich life. This time element paves the way for another slippery slope towards fraud and corruption. Lagi, it is something like a call option with unlimited upside and a downside that is somehow floored, both in duration and intensity.

There must be a happy equilibrium between these two slippery slopes — one toward dysfunctional socialism, and the other toward cannibalistic corruption. It looks to me like the whole financial system was precariously perched on a meta-stable equilibrium between these two. It just slipped on to one of the slopes last year, and we are all trying to rope it back on to the perching point. In my romantic fancy, I imagine a happier and more stable equilibrium existed thirty or forty years ago. Was it in the opposing economic ideals of the cold war? Or was it in the welfare state concepts of Europe, where governments firmly controlled the commanding heights of their economies? Jika ya, can we expect China (or India, or Latin America) to bring about a much needed counterweight?

Seksyen

Perkongsian Keuntungan

Antara semua hujah-hujah untuk bonus besar, yang paling meyakinkan adalah satu di generasi perkongsian keuntungan dan. Keuntungan bagi pelanggan dan pihak berkepentingan, jika dihasilkan oleh seorang eksekutif tertentu, perlu dikongsi dengan dia. Apa yang salah dengan itu?

Hujah yang lalu bagi insentif bonus kita akan melihat adalah salah satu ini dari segi keuntungan (dan oleh itu nilai pemegang saham) generasi. Baik, nilai pemegang saham dalam kegawatan kewangan semasa telah mengambil apa-apa pukulan yang tidak eksekutif bank yang waras akan mengemukakannya sebagai hujah. Yang tinggal kemudian adalah definisi yang agak sempit keuntungan. Di sini ia mendapat rumit. Keuntungan bagi kebanyakan institusi kewangan adalah kepalang. Hujah dari eksekutif AIG adalah bahawa dia dan pasukannya mempunyai apa-apa kaitan dengan aktiviti membuat kerugian, dan mereka akan menerima bonus yang dijanjikan. Mereka menjauhkan diri mereka daripada kejatuhan dan mengukir niche kecil mereka yang tidak menyumbang kepada ia. segmentasi seperti, walaupun ia kedengaran seperti pendirian yang logik, tidak berapa betul. Untuk melihat kesilapan yang, mari kita cuba yang segmentasi masa. Katakan seorang peniaga yang amat baik untuk beberapa bulan membuat keuntungan yang besar, dan sehingga merosakkan semasa sepanjang tahun berakhir dengan kerugian keseluruhan. Sekarang, rasa dia berhujah, “Baik, Saya bermain dengan baik bagi Januari, Mac dan Ogos. Berikan saya saya 300% bagi mereka bulan.” Tiada siapa yang akan membeli hujah yang. Saya rasa apa yang berlaku ke semasa juga patut terpakai kepada ruang (maaf, unit perniagaan atau kelas aset, Maksud saya). Jika firma itu menjadi buruk, mungkin semua bonus akan hilang.

Seperti yang kita lihat dalam jawatan terakhir siri, this argument for and against hefty incentives is a tricky one with some surprising implications.

Seksyen

Pengekalan Bakat

Even after we discount hard work and inherent intelligence as the basis of generous compensation packages, we are not quite done yet.

The next argument in favour of hefty bonuses presents incentives as a means of retaining the afore-mentioned talent. Looking at the state of affairs of the financial markets, the general public may understandably quip, “What talent?” and wonder why anybody would want to retain it. That implied criticism notwithstanding, talent retention is a good argument.

As a friend of mine illustrated it with an example, suppose you have a great restaurant thanks mainly to a superlative chef. Everything is going honky dory. Kemudian, out of the blue, an idiot cook of yours burns down the whole establishment. Anda, sudah tentu, sack the cook’s rear end, but would perhaps like to retain the chef on your payroll so that you have a chance of making it big again once the dust settles. Benar, you don’t have a restaurant to run, but you don’t want your competitor to get his hands on your ace chef. Good argument. My friend further conceded that once you took public funding, the equation changed. You probably no longer had any say over payables, because the money was not yours.

I think the equation changes for another reason as well. When all the restaurants in town are pretty much burned down, where is your precious chef going to go? Perhaps it doesn’t take huge bonuses to retain him now.

Seksyen

Bakat dan Perisikan

Dalam post yang lepas, Saya berpendapat bahawa bagaimana keras kita bekerja tiada banyak yang perlu dilakukan dengan berapa banyak pahala kita harus menuai. Lagipun, terdapat pemandu teksi yang bekerja lebih lama dan lebih keras, dan walaupun jiwa lebih malang di kawasan miskin di India dan negara-negara miskin yang lain.

Tetapi, Saya threading di atas ais nipis sebenar apabila saya bandingkan, Walau bagaimanapun tidak langsung, eksekutif kanan untuk pemandu teksi dan anjing setinggan. Mereka (eksekutif, yang) jelas lebih banyak berbakat, yang membawa saya kepada hujah bakat yang terkenal dengan bonus. Apakah perkara bakat ini? Adakah kecerdasan dan artikulasi? Saya pernah bertemu dengan seorang pemandu teksi di Bangalore yang fasih dalam lebih daripada sedozen bahasa yang berbeza seperti Bahasa Inggeris dan Bahasa Arab. Saya menemui bakat tersembunyi melalui kemalangan apabila dia retak sehingga di sesuatu bapa saya berkata kepada saya — jenaka swasta dalam vernakular kami, yang saya telah jarang ditemui cubaan penceramah bukan asli. Saya tidak dapat membantu berfikir kemudian — diberikan tempat yang lain dan masa yang lain, pemandu teksi ini akan menjadi seorang profesor dalam linguistik atau sesuatu. Bakat mungkin syarat yang perlu untuk kejayaan (dan bonus), tetapi ia sudah tentu tidak adalah satu yang mencukupi. Malah di kalangan anjing setinggan, kita mungkin mencari bakat yang mencukupi, jika filem pemenang anugerah Oscar adalah apa-apa untuk pergi oleh. Walaupun, protagonis dalam filem tidak membuat bonus juta dolar beliau, tetapi ia hanya fiksyen.

Dalam kehidupan sebenar, Walau bagaimanapun, kemalangan bertuah keadaan memainkan peranan yang lebih penting daripada bakat dalam meletakkan kami di sebelah kanan jurang pendapatan. Bagi saya, ia seolah-olah bodoh untuk menuntut hak untuk ganjaran berdasarkan apa-apa persepsi bakat atau kepintaran. Heck, perisikan sendiri, Walau bagaimanapun kita mentakrifkannya, adalah apa-apa tetapi kemalangan genetik yang bahagia.

Seksyen

Kerja Keras

Salah satu hujah untuk bonus besar adalah bahawa eksekutif bekerja keras untuk itu dan mendapatkannya adil dan persegi. Ia adalah benar bahawa beberapa eksekutif ini menghabiskan banyak masa (sehingga 10 kepada 14 jam sehari, menurut eksekutif AIG di bawah perhatian di sini). Tetapi, jangan lebih masa dan kerja keras membuat kita secara automatik “orang-orang yang berhak mendapat yang terbaik dalam hidup,” sebagai Tracy Chapman meletakkannya?

Saya telah bertemu dengan pemandu teksi di Singapura yang berulang alik jam jalan-jalan selepas burung hantu syif jam sebelum mereka boleh pulang modal. Rupa-rupanya sewa yang pemandu teksi perlu membayar agak tinggi, dan mereka akan bekerja secara konsisten lebih lama daripada kebanyakan eksekutif. Jauh di luar ufuk moral kita, manusia sampah anjing setinggan makanan ternakan tempat pembuangan sampah untuk sisa mereka boleh makan atau menjual. buruh belakang pecah, Saya bayangkan. Jam Long, keadaan kerja yang dahsyat, dan kerja keras-keras — tetapi tiada bonus.

Ia melihat kepada saya seolah-olah kerja keras mempunyai korelasi yang sangat sedikit dengan apa yang berhak. Kami perlu mencari tempat lain untuk mencari justifikasi untuk apa yang kita anggap kerana kami.

Seksyen

Pelan Bonus Tikus dan Lelaki

rancangan yang paling baik sekalipun kami sering pergi serba salah. Kami melihatnya sepanjang masa di peringkat peribadi — kemalangan (baik dan buruk), kematian (kedua-dua orang yang tersayang dan bapa saudara yang kaya), kelahiran, dan loteri semua bersubahat merombak keutamaan kita dan menyebabkan rancangan kami batal dan tidak sah. Malah, tidak ada yang seperti musibah yang kukuh untuk membawa kita untuk meletakkan perkara dalam perspektif. Peluang ini mungkin hikmahnya pepatah kami sentiasa dinasihatkan untuk melihat. Apa yang benar di peringkat individu berlaku juga pada skala yang lebih besar. Krisis kewangan seluruh industri telah disampaikan kejelasan falsafah profesion kami — kejelasan bahawa kita mungkin telah terlalu sibuk untuk melihat, tetapi bagi selat mengerikan kita berada dalam sekarang.

Ini jelas falsafah inspirasi analisis (dan lajur, sudah tentu) yang pada masa-masa kepentingan diri sendiri dan pada masa-masa bermuhasabah. Kami kini bimbang tentang kejujuran moral di sebalik jangkaan bonus gila dari masa lalu, misalnya. Kes di titik adalah Jake DeSantis, Naib Presiden Eksekutif AIG yang meletak jawatan dan bukan secara terbuka di New York Times, dan menyumbangkan bonus agak sederhana beliau satu juta dolar kepada badan amal. Alasan di balik peletakan jawatan itu adalah menarik, dan makanan untuk siri ini jawatan.

Sebelum saya pergi lebih jauh, biarlah saya menyatakan ia secara terang-terangan. Saya akan cuba untuk dicincang hujah-hujahnya yang terbaik yang saya boleh. Saya pasti saya akan dinyanyikan lagu yang sama sekali berbeza jika mereka telah memberikan saya satu bonus juta dolar. Atau jika sesiapa mempunyai keberanian untuk mencadangkan bahawa saya berpisah dengan bonus saya sendiri, remeh kerana ia mungkin kelihatan dalam perbandingan. Saya akan menyimpan kemungkinan yang di luar skop ruangan ini, mengabaikan yang lain tidak konsisten moral niat jahat mungkin melihat di dalamnya. Saya akan bercakap hanya kira-kira bonus orang lain. Lagipun, kita berada dalam berurusan dengan wang orang lain. Dan ia sentiasa lebih mudah untuk risiko dan mengorbankan sesuatu yang bukan milik kita.

Seksyen

A Jenis Baru Binomial Tree

We can port even more complicated problems from mathematics directly to a functional language. Untuk contoh lebih dekat dengan rumah, mari kita kaji model harga binomial, menggambarkan bahawa kemudahan dan keanggunan dengan yang Haskell mengendalikan faktorial memang meliputi kehidupan sebenar masalah kewangan kuantitatif dan juga.

The binomial tree pricing model works by assuming that the price of an underlying asset can only move up or down by constant factors u dan d during a small time interval \delta t. Stringing together many such time intervals, we make up the expiration time of the derivative instrument we are trying to price. The derivative defined as a function of the price of the underlying at any point in time.

Figure 1
Rajah 1. Binomial tree pricing model. On the X axis, labeled i, we have the time steps. The Y axis represents the price of the underlying, labeled j. The only difference from the standard binomial tree is that we have let j be both positive and negative, which is mathematically natural, and hence simplifies the notation in a functional language.

We can visualize the binomial tree as shown in Fig. 1. At time t = 0, we have the asset price S(0) = S_0. Pada t = \delta t (with the maturity T = N\delta t). we have two possible asset values S_0 u dan S_0 d = S_0 / u, where we have chosen d = 1/u. In general, at time i\delta t, at the asset price node level j, we have

S_{ij} = S_0 u^j

By choosing the sizes of the up and down price movements the same, we have created a recombinant binomial tree, which is why we have only 2i+1 price nodes at any time step i\delta t. In order to price the derivative, we have to assign risk-neutral probabilities to the up and down price movements. The risk-neutral probability for an upward movement of u is denoted by p. With these notations, we can write down the fair value of an American call option (of expiry T, underlying asset price S_0, strike price K, risk free interest rate r, asset price volatility \sigma and number of time steps in the binomial tree N) using the binomial tree pricing model as follows:

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}

tempat f_{ij} denotes the fair value of the option at any the node i in time and j in price (referring to Fig. 1).

f_{ij} = \left{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1, j+1} + (1-p)  f_{i+1, j-1}\right)) & \textrm {otherwise}\end{array}\right

At maturity, i = N dan i\delta t = T, where we exercise the option if it is in the money, which is what the first Max function denotes. The last term in the express above represents the risk neutral backward propagation of the option price from the time layer at (i+1)\delta t kepada i\delta t. At each node, if the option price is less than the intrinsic value, we exercise the option, which is the second Max function.

The common choice for the upward price movement depends on the volatility of the underlying asset. u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}} and the downward movement is chosen to be the same d = 1/u to ensure that we have a recombinant tree. For risk neutrality, we have the probability defined as:

p = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

For the purpose of illustrating how it translates to the functional programming language of Haskell, let us put all these equations together once more.

\textrm{OptionPrice}(T, S_0, K, r, \sigma, N) = f_{00}
tempat
&f_{ij}  =& \left\{\begin{array}{ll}\textrm{Max}(S_{ij} - K, 0) & \textrm{if } i = N \\\textrm{Max}(S_{ij} - 0, e^{-\delta tr}\left(p f_{i+1\, j+1} + (1-p)  f_{i+1\, j-1}\right)\quad \quad& \textrm{otherwise}\end{array}\right.
S_{ij}  = S_0 u^j
u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}}
d  = 1/u
\delta t  = T/N
p  = \frac{ e^{r\delta t} - d}{u - d}

Sekarang, let us look at the code in Haskell.

  optionPrice t s0 k r sigma n = f 0 0      where        f i j =            if i == n            then max ((s i j) - kepada) 0            else max ((s i j) - kepada)                      (exp(-r*dt) * (p * f(i 1)(j 1) +                      (1-p) * f(i 1)(j-1)))        s i j = s0 * u**j        u = exp(sigma * sqrt dt)        d = 1 / u        dt = t / n        p = (exp(r*dt)-d) / (u-d)  

As we can see, it is a near-verbatim rendition of the mathematical statements, tidak lebih. This code snippet actually runs as it is, and produces the result.

  *Main> optionPrice 1 100 110 0.05 0.3 20  10.10369526959085  

Looking at the remarkable similarity between the mathematical equations and the code in Haskell, we can understand why mathematicians love the idea of functional programming. This particular implementation of the binomial pricing model may not be the most computationally efficient, but it certainly is one of great elegance and brevity.

While a functional programming language may not be appropriate for a full-fledged implementation of a trading platform, many of its underlying principles, such as type abstractions and strict purity, may prove invaluable in programs we use in quantitative finance where heavy mathematics and number crunching are involved. The mathematical rigor enables us to employ complex functional manipulations at the program level. The religious adherence to the notion of statelessness in functional programming has another great benefit. It helps in parallel and grid enabling the computations with almost no extra work.

Seksyen